Skärning mellan två linjer i rummet.

Hej, skulle behöva hjälp med b) uppgiften till denna fråga.

Planen 3x-2y+z-6=0 och x+y-2z-8=0 samt linjen (x,y,z) = (1+5t,1+t,-1-t) är givna.

a) Visa att det finns en punkt som är gemensam för planen och linjen. Bestäm kordinaterna för denna punkt.

Det gjorde jag och fick svaret: $\frac{1}{2} (7, 3, - 3)$ vilket stämde med facit. Om vi sedan kallar den givna linjen l₁ och linjen där de två planen skär varandra l₂. Så fick jag att l₁:s parameter är = $\frac{1}{2}$

samt att l₂:s ekv. är: $x = 3 s + \frac{22}{5} y = 7 s + \frac{18}{5} z = 5 s$ , med s = $- \frac{3}{10}$ .

Då så då var det b uppgiften (:

b)Bestäm ekvationen för det plan som inehåller skärningslinjen [som jag kallar l₂ ovan] mellan de givna planen och den givnia linjen. Svara på affin form.

Hur ska jag nu gå tillväga?

Hur hittade du den gemensamma punkten i a)? Vilken linje skar planen varandra i? Du har nu två linjer. Vilket plan spänner de upp? :)

$3 x - 2 y + z = 6 x + y - 2 z = 8 ⋮ 3 (2) - (1) : \begin{matrix} 3 x + 3 y - 6 z = 24 \\ (-) & 3 x - 2 y + z = 6 \\ 5 y - 7 z = 18 \end{matrix} ⋮ 5 y - 7 z = 18 - > 5 y - 7 t = 18 - > y = \frac{18 + 7 t}{5} ⋮ 3 x - 2 y + z = 6 - > 3 x - 2 \frac{18 + 7 t}{5} + t = 6 - > 3 x + \frac{- 36 - 14 t + 5 t}{5} = 6 - > 3 x + \frac{- 36 - 9 t}{5} = 6 - > 15 x - 36 - 9 t = 30 - > 15 x = 66 + 9 t - > x = \frac{66 + 9 t}{15} - > x = \frac{22 + 3 t}{5}$

$(x, y, z) = (\frac{22 + 3 t}{5}, \frac{18 + 7 t}{5}, t) - > (\frac{3 t}{5}, \frac{7 t}{5}, t) + (\frac{22}{5}, \frac{18}{5}, 0) - > (3 t, 7 t, 5 t) + (\frac{22}{5}, \frac{18}{5}, 0) ⋮ (p, q, r) = (1 + 5 g, 1 + g, - 1 - g) (x, y, z) = (p, q, r) \begin{matrix} \frac{22 + 3 t}{5} & = & 1 + 5 g \\ \frac{18 + 7 t}{5} & = & 1 + g \\ t & = & - 1 - g \end{matrix} \frac{18 + 7 (- 1 - g)}{5} = 1 + g - > 18 + 7 (- 1 - g) = 5 + 5 g - > 18 - 7 - 7 g = 5 + 5 g - > 11 - 7 g = 5 + 5 g - > 6 = 12 g - > g = \frac{1}{2} ⋮ (p, q, r) = (1 + \frac{5}{2}, 1 + \frac{1}{2}, - 1 - \frac{1}{2}) = (\frac{7}{2}, \frac{3}{2}, - \frac{3}{2})$

Det nya planet P är parallellt med vektorerna som utgör riktningarna till l1 och l2. v₁=(5,1,-1) och v₂=(3,7,5) . Planet innehåller även punkten $(\frac{7}{2}, \frac{3}{2}, - \frac{3}{2})$ . Planet P på vektorform ges alltså av

$(p_{1}, p_{2}, p_{3}) = q (5, 1, - 1) + w (3, 7, 5) + (\frac{7}{2}, \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}) \begin{matrix} p_{1} & = & 5 q + 3 w + \frac{7}{2} & (1) \\ p_{2} & = & q + 7 w + \frac{3}{2} & (2) \\ p_{3} & = & - q + 5 w - \frac{3}{2} & (3) \end{matrix} (2') = 5 (2) - (1) (3') = (3) + (2) \begin{matrix} \begin{matrix} 5 p_{2} & = & 5 q + 35 w + \frac{15}{2} \end{matrix} \\ (-) & \begin{matrix} p_{1} & = & 5 q + 3 w + \frac{7}{2} \end{matrix} \\ 5 p_{2} - p_{1} = 32 w + \frac{8}{2} \end{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} p_{3} & = & - q + 5 w - \frac{3}{2} \end{matrix} \\ (+) & \begin{matrix} p_{2} & = & q + 7 w + \frac{3}{2} \end{matrix} \\ p_{2} + p_{3} = 12 w \end{matrix} ⋮ \begin{matrix} p_{1} & = & 5 q + 3 w + \frac{7}{2} & (1) \\ 5 p_{2} - p_{1} & = & 32 w + \frac{8}{2} & (2') \\ p_{2} + p_{3} & = & 12 w & (3') \end{matrix} (3'') = 8 (3') - 3 (2') \begin{matrix} 8 (p_{2} + p_{3}) = 96 w \\ (-) & 3 (5 p_{2} - p_{1}) = 96 w + 12 \\ 8 (p_{2} + p_{3}) - 3 (5 p_{2} - p_{1}) = - 12 \end{matrix} ⋮ \begin{matrix} p_{1} & = & 5 q + 3 w + \frac{7}{2} & (1) \\ 5 p_{2} - p_{1} & = & 32 w + \frac{8}{2} & (2') \\ 8 (p_{2} + p_{3}) - 3 (5 p_{2} - p_{1}) & = & - 12 & (3'') \end{matrix}$

$\begin{matrix} 8 (p_{2} + p_{3}) - 3 (5 p_{2} - p_{1}) & = & - 12 \end{matrix} 8 p_{2} + 8 p_{3} - 15 p_{2} + 3 p_{1} = - 12 3 p_{1} - 7 p_{2} + 8 p_{3} = - 12$

Svar: $3 p_{1} - 7 p_{2} + 8 p_{3} = - 12$

Test

$3 p_{1} - 7 p_{2} + 8 p_{3} (\frac{7}{2}, \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}) - > 3 * \frac{7}{2} - 7 * \frac{3}{2} + 8 * - \frac{3}{2} = \frac{21 - 21 - 24}{2} = - 12 O K! (5, 1, - 1) - > 3 * 5 - 7 * 1 + 8 * - 1 = 15 - 7 - 8 = 0 O K! (3, 7, 5) - > 3 * 3 - 7 * 7 + 8 * 5 = 9 - 49 + 40 = 0 O K!$

Gör dina egna beräkningar och jämför. Risken för räknefel är stor.

Smutstvätt skrev:
Hur hittade du den gemensamma punkten i a)? Vilken linje skar planen varandra i? Du har nu två linjer. Vilket plan spänner de upp? :)

Jag hittade den gemensama punkten i a) genom att beräkna skärningen mellan planen (genom att lösa motsvarande ekvationssystem) därest beräknad jag skärning en mellan denna erhållna linje och den givna linjen.

De skar alltså varandra i den linje jag kallar l₂.

Vilket plan spänner de upp? Jo, det är vad jag undrar, ty planets ekv. består ju av start punkt, l1 och l2

men de senare har ju redan sina parametrar. Normalt sett brukar jag få uppgifter där l1 ex.v är lika med (3,2,1) och l2 ex.v (1,1,1) och då blir det x=x₀+3t+s osv. Men nu blir det ju kaka på kaka då jag redan har parametrar i l1 och l2.

oneplusone2 skrev:
$3 x - 2 y + z = 6 x + y - 2 z = 8 ⋮ 3 (2) - (1) : \begin{matrix} 3 x + 3 y - 6 z = 24 \\ (-) & 3 x - 2 y + z = 6 \\ 5 y - 7 z = 18 \end{matrix} ⋮ 5 y - 7 z = 18 - > 5 y - 7 t = 18 - > y = \frac{18 + 7 t}{5} ⋮ 3 x - 2 y + z = 6 - > 3 x - 2 \frac{18 + 7 t}{5} + t = 6 - > 3 x + \frac{- 36 - 14 t + 5 t}{5} = 6 - > 3 x + \frac{- 36 - 9 t}{5} = 6 - > 15 x - 36 - 9 t = 30 - > 15 x = 66 + 9 t - > x = \frac{66 + 9 t}{15} - > x = \frac{22 + 3 t}{5}$
$(x, y, z) = (\frac{22 + 3 t}{5}, \frac{18 + 7 t}{5}, t) - > (\frac{3 t}{5}, \frac{7 t}{5}, t) + (\frac{22}{5}, \frac{18}{5}, 0) - > (3 t, 7 t, 5 t) + (\frac{22}{5}, \frac{18}{5}, 0) ⋮ (p, q, r) = (1 + 5 g, 1 + g, - 1 - g) (x, y, z) = (p, q, r) \begin{matrix} \frac{22 + 3 t}{5} & = & 1 + 5 g \\ \frac{18 + 7 t}{5} & = & 1 + g \\ t & = & - 1 - g \end{matrix} \frac{18 + 7 (- 1 - g)}{5} = 1 + g - > 18 + 7 (- 1 - g) = 5 + 5 g - > 18 - 7 - 7 g = 5 + 5 g - > 11 - 7 g = 5 + 5 g - > 6 = 12 g - > g = \frac{1}{2} ⋮ (p, q, r) = (1 + \frac{5}{2}, 1 + \frac{1}{2}, - 1 - \frac{1}{2}) = (\frac{7}{2}, \frac{3}{2}, - \frac{3}{2})$

b)
Det nya planet P är parallellt med vektorerna som utgör riktningarna till l1 och l2. v₁=(5,1,-1) och v₂=(3,7,5) . Planet innehåller även punkten $(\frac{7}{2}, \frac{3}{2}, - \frac{3}{2})$ . Planet P på vektorform ges alltså av
(p1,p2,p3)=q()+w()+()

Aha, så riktningsvektorerna motsvarar helt enkelt riktningen i l1 resp. l2, medans konstanterna inte har med riktningen att göra och därmed måste utelämnas!

Tusen tack!!

la till några delar

Svara

Visa senaste svar