Skärning mellan plan i rät vinkel

Hej! Jag har fastnat på följande uppgift.

Bestäm ekvationen för ett plan som skär planet x + 2y + 2z = 0 under rät vinkel.

Jag tänker såhär: Om planen är vinkelräta mot varandra är även deras normalvektorer det. Min lösning:

Låt givet plan = L, sökt plan = M.
Normalvektorn för L (utläses ur ekvationen) är $\overset{⇀}{n_{L}} = (1, 2, 2)$ .
För räta vinklar mellan vektorer gäller $\overset{⇀}{n_{L}} \overset{⇀}{n_{M}} = 0 \Leftrightarrow (1, 2, 2) (n_{1}, n_{2}, n_{3}) = 0 \Leftrightarrow n_{1} + 2 n_{2} + 2 n_{3} = 0 \Leftrightarrow n_{1} = - 2 n_{2} - 2 n_{3}$
Låt $n_{2} = t, 2 n_{3} = s$ . Normalvektorns parameterform blir $\overset{⇀}{n_{M}} = t (- 2, 1, 0) + s (- 2, 0, 1)$ .

Men nu vet jag inte vad jag ska göra. Jag finner det svårt att omvandla mellan parameter- och normalform. Det finns en formel $\overset{⇀}{n} (\overset{⇀}{x} - P) = 0$ där P är en punkt i planet. Men vi vet ju ingen punkt i planet M ... eller? Kan vi hitta på godtyckliga värden för t och s och sätta in den resulterande punkten i den nämnda formeln?

En vektor har en längd och en riktning, de anges i regel inte med parametrar.

Linjer är oändligt långa och anges ofta med hjälp av en riktningsvektor (med en parameter framför) och en fast punkt på linjen.

"Normalvektorns parameterform" blir därför lite svårsmält. De goda nyheterna är att de vektorer du har fått fram, (-2,1,0) och (-2,0,1), båda är vinkelräta mot L:s normal och skulle därmed kunna användas.

Var du lägger planet är valfritt, du kan t.ex. säga att du vill att ditt plan ska innehålla punkten (0,0,0), det kommer då bli en del av skärningslinjen mellan planen eftersom L också håller punkten (0,0,0).

Planet M: $-2x+0y+z=0$ är uppfyller (0,0,0), har en normal vinkelrät mot Ls normal.

Svara