Skärning mellan en sfär och ett plan

Har du ritat?

Lösningsmängden är en ellips i $xy$-planet, och $xy$-termen roterar ellipsen. För att bli av med den får du rotera koordinatsystemet

Om man skär en sfär med ett plan måste skärningen vara en cirkel - däremot kan projektionen av skärningen på något annat plan vara en ellips.

Yes! Det borde jag förtydligat. 

För att citera Leif GW Person angående mordutredningar och den första kursen i linjär algebra: -Krångla inte till det i onödan

Ställ dig i sfärens mittpunkt (origo) och gå t steg i normalens riktning tills du krockar med planet, dvs punkten $(0,0,0)+t(1,1,1)$ ska uppfylla planets ekvation:

$t+t+t=1\iff t=\frac{1}{3}$

Så cirkelns medelpunkt är uppenbarligen punkten $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$.

Cirkelns radie a ges trivialt av pythagoras sats, $a^2=r^2-t=4-\frac{1}{3}=\frac{11}{3}\Rightarrow a=\sqrt{\frac{11}{3}}$

Vill man på ren trots mot inrådan av GW krångla till det kan man ta fram en ortonormal bas för planet och parametrisera cirkeln genom $\theta$ så här:

$\mathbf{r}(\theta)=\sqrt{\frac{11}{3}}(\cos(\theta)\bar{\mathbf{e}}_1+\sin(\theta)\bar{\mathbf{e}}_2)+(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$

Där $\bar{\mathbf{e}}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1, 0),\ \bar{\mathbf{e}}_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)$ är en ortonormal bas för planet.