5 svar
1739 visningar
Signalfel 74 – Fd. Medlem
Postad: 15 feb 2018 02:19

Skärning mellan en sfär och ett plan

Hej! Jag ska hitta skärningsytan mellan en sfär och ett plan - den bifogade bilden är mitt försök. Jag vet inte hur jag ska vidare p.g.a. 2xy-termen i sista ledet, hade det inte varit för den hade jag såklart kunna få fram ekvationen för cirkeln (skärningsytan) m.h.a. kvadratkomplettering men nu körde jag fast. Skulle gärna vilja ha tips om hur jag går vidare, eller om hur jag borde gjort ifall jag gjort fel i något tidigare led!

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 15 feb 2018 07:17

Har du ritat?

pi-streck=en-halv 497 – Fd. Medlem
Postad: 15 feb 2018 08:04 Redigerad: 15 feb 2018 08:16

Lösningsmängden är en ellips i xy xy -planet, och xy xy -termen roterar ellipsen. För att bli av med den får du rotera koordinatsystemet

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 15 feb 2018 09:19

Om man skär en sfär med ett plan måste skärningen vara en cirkel - däremot kan projektionen av skärningen på något annat plan vara en ellips.

pi-streck=en-halv 497 – Fd. Medlem
Postad: 15 feb 2018 10:11 Redigerad: 15 feb 2018 10:25

Yes! Det borde jag förtydligat. 

Guggle 1364
Postad: 15 feb 2018 10:49

För att citera Leif GW Person angående mordutredningar och den första kursen i linjär algebra: -Krångla inte till det i onödan

Ställ dig i sfärens mittpunkt (origo) och gå t steg i normalens riktning tills du krockar med planet, dvs punkten (0,0,0)+t(1,1,1) (0,0,0)+t(1,1,1) ska uppfylla planets ekvation:

t+t+t=1t=13 t+t+t=1\iff t=\frac{1}{3}

Så cirkelns medelpunkt är uppenbarligen punkten (13,13,13) (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) .

Cirkelns radie a ges trivialt av pythagoras sats, a2=r2-t=4-13=113a=113 a^2=r^2-t=4-\frac{1}{3}=\frac{11}{3}\Rightarrow a=\sqrt{\frac{11}{3}}

Vill man på ren trots mot inrådan av GW krångla till det kan man ta fram en ortonormal bas för planet och parametrisera cirkeln genom θ \theta så här:

r(θ)=113(cos(θ)e¯1+sin(θ)e¯2)+(13,13,13) \mathbf{r}(\theta)=\sqrt{\frac{11}{3}}(\cos(\theta)\bar{\mathbf{e}}_1+\sin(\theta)\bar{\mathbf{e}}_2)+(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})

Där e¯1=12(1,-1,0), e¯2=16(1,1,-2) \bar{\mathbf{e}}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1, 0),\ \bar{\mathbf{e}}_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2) är en ortonormal bas för planet.

Svara
Close