Skapa ord
Hej!
Jag har försökt lösa följande uppgift, som jag inte har facit till:
Givet bokstäverna a, a, b, b, c, c, d, d bildar vi ”ord” (textsträngar) av längd
åtta, dvs. alla bokstäver måste användas. T.ex. är adcabcbd ett ”ord” som kan
bildas.
(a) Hur många sådana ord kan bildas?
(b) Vi lägger till villkoret att båda a:na måste vara till vänster om båda d:na
i ”ordet”. Hur många ”ord” finns det då?
På a) har jag svarat 8! / ( 16) = 2520 sätt eftersom det förekommer finns dubbletter av 4 bokstäver.
På b) har jag tänkt att aadd blir som en bokstav, och såldes blir antalet bokstäver 5 stycken.
Det finns 5! sätt som de kan ordnas på, men eftersom det förekommer dubbletter blir antalet sätt 5!/ ( 2!2!) = 30 sätt
Stämmer mina beräkningar?
Nej, du kan inte tänka att aadd är en bokstav, för då utesluter du t ex caabcdbd som borde vara ett godkänt "ord".
Såklart! Det tänkte jag inte på.
Då blir det nog lite mer komplicerat. Det innebär väl då också att jag inte kan tänka båda a:na som en bokstav samt båda d:na som en bokstav eftersom de inte måste vara placerade bredvid varandra för att villkoret ska gälla.
Jag har alltså 8 platser att placera ut bokstäverna på och två d ska alltid vara till höger om 2 stycken a.
Skulle jag kunna få någon ledtråd på hur jag kan fortsätta?
1) Hur många olika ord kan du bilda av AADD ?
2) Hur många av dem har bägge A till vänster om bägge D ?
Ser du att orden som är svar på 1) ingår på något sätt i alla dina 2520 ord i uppgift a) ?
När du nu funderar på min fråga 2), så ...
Har ni pratat om delare? Vet inte om det blir enklare att först bygga 2 ord, ett av aadd som kan göras på ett sätt, och sen av bbcc som kan göras på lite fler sätt, och sen sätta ihop dem genom att tänka dig att du placerar ut de 4 bokstäverna i ett av orden på 4 av 8 platser i det totala.
Jag tror att min ledtråd ger den enklaste lösningen, så jag ger samma ledtråd lite tydligare:
Vad kan det här vara i din fråga a) ?
_ b _ c c _ _ b
Vad kan det här vara i din fråga b) ?
_ b _ c c _ _ b
Bubo skrev:Jag tror att min ledtråd ger den enklaste lösningen, så jag ger samma ledtråd lite tydligare:
Vad kan det här vara i din fråga a) ?
_ b _ c c _ _ b
Vad kan det här vara i din fråga b) ?
_ b _ c c _ _ b
Jag hoppas att jag har förstått det rätt:
På a) behöver inte a:na var till vänster om d:na och då finns det 4! sätt. Eftersom det finns 2 dubbletter blir det dock 4!/ (2! x 2!) = 6 sätt
Stämmer det?
På den andra raden (b) så måste a:na vara placerade på de två första tomma platserna och d:na på de två andra tomma platserna. Det ger väl bara ett sätt?
Ja, och här har du genvägen till svaret:
Oavsett hur dina b och d är placerade, så kan du ta några stycken av dina ord från a-uppgiften och när du "maskerar" a och d som streck (ursäkta formuleringen, men du fattar vad jag menar) så ser de här orden i gruppen likadana ut.
Men bara ett ord i varje grupp har bägge a till vänster om bägge d.
Jag förstår inte riktigt hur jag ska göra. Ska jag skriva upp alla 6 sätt som det gick att placera ut a och d?
En till fråga:
Är _b_cc__b den enda "mallen" som man ska jobba med för att komma fram till svaret? I sådana fall, hur kommer man fram till det?
1) Jag tänkte mig att det viktiga är att ett av sex möjliga sätt är rätt, fem av dem är fel.
2) Här tänkte jag mig att man ska jobba med ALLA sådana "mallar". De är ju ganska lika.
Ta t.ex. _ _ c b _ b c _ På hur många sätt kan du placera ut aadd, och hur många sådana sätt är rätt?
Okej hittills har jag skrivit ner dessa "mallar":
_ _ c b _ b c _
_ _ b c _ c b_
_ b _ c c _ _ b
_c_b b_ _ c
_c_ b _ c _ b _
_ b _ c _ b _ c _
Och för varje "mall" finns det 1 sätt som fungerar. Jag ska fortsätta att skriva ner fler mallar, men jag undrar om det finns ett annat sätt att beräkna hur många mallar som det finns?
Ska jag sedan addera antalet sätt som det finns med mitt svar i det första inlägget (då jag tänker att aadd är en bokstav)?
På hur många sätt kan du placera ut två stycken b och två stycken c på de åtta platserna?
Är lite osäker, men jag tänker att det blir 8 över 4, dvs 70 sätt. Är det rätt?
Nej, nu börjar du räkna alldeles för krångligt.
Det gäller att välja ut de samband som behövs:
- För varje mall finns det fem sätt som fungerar, och ett sätt som inte fungerar.
- TOTALT finns det 2520 olika ord.
Mer behövs inte för att lösa uppgiften.
Smaragdalenas lösning är helt klart enklast. Placera ut b och c så är det klart, resten kan bara fyllas på ett sätt.
Bubo skrev:Nej, nu börjar du räkna alldeles för krångligt.
Det gäller att välja ut de samband som behövs:
- För varje mall finns det fem sätt som fungerar, och ett sätt som inte fungerar.
- TOTALT finns det 2520 olika ord.
Mer behövs inte för att lösa uppgiften.
Nu är jag lite förvirrad, men jag hoppas att jag har rätt tankesätt.
Om det totalt finns 2520 ord, och 6 olika ord för varje mall (varav 1 sätt som fungerar), så blir antalet mallar 2520/6 = 420 och eftersom enbart 1 sätt fungerar för varje mall blir det alltså 420 ord. Blev det rätt nu?
Micimacko skrev:Smaragdalenas lösning är helt klart enklast. Placera ut b och c så är det klart, resten kan bara fyllas på ett sätt.
Hur ser den lösningen ut? Är nyfiken på olika lösningsmetoder :)
Ja.
Det finns ofta många olika sätt att tänka, när man löser krångliga problem i kombinatorik.
Jag tycker att mitt sätt är enklast, men alla gillar väl sitt eget sätt - huvudsaken är att man tänker rätt.
Den första bokstaven b kan placeras på 8 olika sätt. Nästa b kan placeras på 7 sätt. Första c-et kan placeras på 6 olika sätt och det andra på 5. Men nu har vi räknat varje b 2 ggr och varje c 2 ggr. Det blir alltså 8.7.6.5/4 = 420 sätt. I b-uppgiften kan man bara placera ut sina aadd på ett enda sätt, så svaret blir 420. I a-uppgiften kunde vi placera ut aadd på 6 olika sätt, så svaret blir 2520.
Okej! När jag får det förklarat för mig tycker jag att det verkar logiskt, men jag tror inte att jag skulle ha kunnat komma fram till det själv.
Exempelvis undrar jag hur det "syns" i uträkningen att man har tagit hänsyn till att aa ska vara till vänster om dd?
Det är det kravet som gör att du har räknat färdigt efter att ha placerat ut b och c. Annars hade du behövt fortsätta placera ut a och d också, istället för att bara sätta a på 2 första tomma platserna och d på de senare.
Vilket av de två sätten frågar du om?
Jag ser att en sjättedel av alla ord har aadd i just den ordningen.
Egentligen frågade jag om de båda sätten, men ju mer jag tänker på det desto tydligare blir de båda metoderna för mig.
Att rita upp bokstäverna och "maskera" a och d med streck gjorde det väldigt tydligt att se - svårigheten för mig var att se att det mönstret fortsatte även för de övriga "mallarna" (dvs dra den slutsatsen utan att behöva skriva ner varenda "mall").
Att placera ut b och c var också enkelt och smidigt och eftersom de placerades ut först skulle man väl kunna använda samma metod om frågan t.ex. var att dd skulle vara till vänster om aa?
Kanske behöver jag bara fundera lite mer på det och sen testa med fler liknande uppgifter :)
Tack så mycket för hjälpen!
