Skapa en ortogonal bas för vektorer i R⁴

Hej alla!

Jag behöver lite hjälp med en uppgift och skulle vara tacksam om någon kunde ge mig lite vägledning. Uppgiften handlar om att skapa en ortogonal bas för underrummet som spänns upp av vektorerna $\mathbf{a}_{3}=[1,1,0,0]^{T}$, $\mathbf{a}_{1}=[1,0,1,0]^{T}$ och $\mathbf{a}_{2}=[0,1,1,-1]^{T}$ i $\mathcal{R}^{4}$.

Det här är mitt försök:

För att skapa en ortogonal bas för $\operatorname{Span}\left\{\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \mathbf{a}_{3}\right\}$ kan vi använda Gram-Schmidts process. Denna process gör det möjligt att hitta en ortogonal bas genom att successivt projicera bort komponenterna som redan är spända upp av tidigare vektorer.

Först väljer vi den första vektorn $\mathbf{a}_{1}$ som den första vektorn i vår ortogonala bas. Eftersom vi inte behöver ändra något på den första vektorn blir vår bas hittills bara $\mathbf{b}_{1} = \mathbf{a}_{1}$.

För att hitta den andra vektorn i den ortogonala basen subtraherar vi projektionen av $\mathbf{a}_{2}$ på $\mathbf{b}_{1}$ från $\mathbf{a}_{2}$. Projicera $\mathbf{a}_{2}$ på $\mathbf{b}_{1}$ kan göras genom att beräkna skalärprodukten $\frac{\mathbf{a}_{2} \cdot \mathbf{b}_{1}}{\|\mathbf{b}_{1}\|^{2}} \mathbf{b}_{1}$. Så vi får:

$\mathbf{v}_{2} = \mathbf{a}_{2} - \frac{\mathbf{a}_{2} \cdot \mathbf{b}_{1}}{\|\mathbf{b}_{1}\|^{2}} \mathbf{b}_{1}$

Vi kan nu normalisera $\mathbf{v}_{2}$ genom att dela den med sin egen längd:

$\mathbf{b}_{2} = \frac{\mathbf{v}_{2}}{\|\mathbf{v}_{2}\|}$

För att hitta den tredje vektorn i den ortogonala basen, upprepa processen genom att projicera $\mathbf{a}_{3}$ på både $\mathbf{b}_{1}$ och $\mathbf{b}_{2}$ och subtrahera projiceringarna från $\mathbf{a}_{3}$:

$\mathbf{v}_{3} = \mathbf{a}_{3} - \frac{\mathbf{a}_{3} \cdot \mathbf{b}_{1}}{\|\mathbf{b}_{1}\|^{2}} \mathbf{b}_{1} - \frac{\mathbf{a}_{3} \cdot \mathbf{b}_{2}}{\|\mathbf{b}_{2}\|^{2}} \mathbf{b}_{2}$

Normalisera sedan $\mathbf{v}_{3}$:

$\mathbf{b}_{3} = \frac{\mathbf{v}_{3}}{\|\mathbf{v}_{3}\|}$

Nu har vi vår ortogonala bas bestående av tre vektorer $\mathbf{b}_{1}$, $\mathbf{b}_{2}$ och $\mathbf{b}_{3}$, vilka bildar en bas för $\operatorname{Span}\left\{\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \mathbf{a}_{3}\right\}$.

För att använda Gram-Schmidts process kan vi börja med:

$\mathbf{b}_{1} = \mathbf{a}_{1} = [1,0,1,0]^{T}$ (ingen förändring)

Beräkna sedan $\mathbf{v}_{2}$:

$\mathbf{v}_{2} = \mathbf{a}_{2} - \frac{\mathbf{a}_{2} \cdot \mathbf{b}_{1}}{\|\mathbf{b}_{1}\|^{2}} \mathbf{b}_{1} = \mathbf{a}_{2} - \frac{(0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0)}{(1^{2} + 0^{2} + 1^{2} + 0^{2})} \mathbf{b}_{1} = \mathbf{a}_{2} - \frac{1}{2} \mathbf{b}_{1} = [0,1,1,-1]^{T} - \frac{1}{2} [1,0,1,0]^{T} = [-\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2}, -1]^{T}$

Normalisera $\mathbf{v}_{2}$ för att få $\mathbf{b}_{2}$:

$\mathbf{b}_{2} = \frac{\mathbf{v}_{2}}{\|\mathbf{v}_{2}\|} = \frac{[-\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2}, -1]^{T}}{\sqrt{(-\frac{1}{2})^{2} + 1^{2} + (\frac{1}{2})^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{[-\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2}, -1]^{T}}{\sqrt{\frac{7}{2}}} = [-\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{14}}, -\frac{2}{\sqrt{14}}]^{T}$

Beräkna slutligen $\mathbf{v}_{3}$:

$\mathbf{v}_{3} = \mathbf{a}_{3} - \frac{\mathbf{a}_{3} \cdot \mathbf{b}_{1}}{\|\mathbf{b}_{1}\|^{2}} \mathbf{b}_{1} - \frac{\mathbf{a}_{3} \cdot \mathbf{b}_{2}}{\|\mathbf{b}_{2}\|^{2}} \mathbf{b}_{2} = [1,1,0,0]^{T} - \frac{(1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0$

$\cdot 0)}{(1^{2} + 0^{2} + 1^{2} + 0^{2})} \mathbf{b}_{1} - \frac{(1 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{14}}) + 1 \cdot \frac{2}{\sqrt{14}} + 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{14}} + 0 \cdot (-\frac{2}{\sqrt{14}}))}{(-\frac{1}{\sqrt{14}})^{2} + (\frac{2}{\sqrt{14}})^{2} + (\frac{1}{\sqrt{14}})^{2} + (-\frac{2}{\sqrt{14}})^{2}} \mathbf{b}_{2}$

$\mathbf{v}_{3} = [1,1,0,0]^{T} - \frac{1}{2} [1,0,1,0]^{T} - \frac{1}{3} [-\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{14}}, -\frac{2}{\sqrt{14}}]^{T} = \left[ \frac{1}{6\sqrt{14}}, \frac{1}{3\sqrt{14}}, \frac{2}{3\sqrt{14}}, -\frac{1}{6\sqrt{14}} \right]^{T}$

Normalisera $\mathbf{v}_{3}$ för att få $\mathbf{b}_{3}$:

$\mathbf{b}_{3} = \frac{\mathbf{v}_{3}}{\|\mathbf{v}_{3}\|} = \frac{\left[ \frac{1}{6\sqrt{14}}, \frac{1}{3\sqrt{14}}, \frac{2}{3\sqrt{14}}, -\frac{1}{6\sqrt{14}} \right]^{T}}{\sqrt{\left( \frac{1}{6\sqrt{14}} \right)^{2} + \left( \frac{1}{3\sqrt{14}} \right)^{2} + \left( \frac{2}{3\sqrt{14}} \right)^{2} + \left( -\frac{1}{6\sqrt{14}} \right)^{2}}} = \left[ \frac{1}{\sqrt{42}}, \frac{2}{\sqrt{42}}, \frac{4}{\sqrt{42}}, -\frac{1}{\sqrt{42}} \right]^{T}$

Därför har vi nu fått en ortogonal bas för underrummet $\operatorname{Span}\left\{\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \mathbf{a}_{3}\right\}$ bestående av $\mathbf{b}_{1} = [1,0,1,0]^{T}$, $\mathbf{b}_{2} = [-\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{14}}, -\frac{2}{\sqrt{14}}]^{T}$ och $\mathbf{b}_{3} = \left[ \frac{1}{\sqrt{42}}, \frac{2}{\sqrt{42}}, \frac{4}{\sqrt{42}}, -\frac{1}{\sqrt{42}} \right]^{T}$.

Är detta rätt?