skalmetod

Mattehjalp skrev:

Hej, om vi flyttar upp allt får vi rotation kring x-axeln, hur kan vi då tillämpa skalmetod, den är ju endast för rotation kring y-axeln?

Nej både skiv- och skalmetoden är oberoende av rotationsaxel och integrationsriktning.

sen undrar jag hur de får y=x+1 och =x^(1/2)+1  och rotationsgränserna 3 och 2?

De flyttar båda graferna uppåt en längdenhet i y-led. Detta för att få rotationen runt x-axeln istället för runt linjen y = -1.

Ursprungsgrafen $y = x$ blir då $y = x+1$, vilket ger $x=y-1$

Ursprungsgrafen $y=\sqrt{x}$ blir då $y=\sqrt{x}+1$, vilket ger $x=(y-1)^2$

Även integrationsintervallet i y-led ändras då, från $[1,2]$ till $[2,3]$

Jag fattar att vi delar området i två delar, där ena är 1<x<2 och andra området 2<x<4 men inget annat.

Nej, det är endast ett (rosanarkerat) område. Det delas inte upp.

ahaa, och varför tar vi (y−1)²-(y-1) ?  är det övre-undre ?

Mattehjalp skrev:

ahaa, och varför tar vi (y−1)²-(y-1) ?  är det övre-undre ?

Ja, det är höjden av ett skal  med radie y.

är detta området som vi då räknar, ba att vi tänker att vi flyttar området upp ett steg så att vi får gränserna Y=2 och Y=3?

Inte riktigt. Begränsningslinjen y = 3 saknas i din bild.

Så här ser det ut efter flytten, jag har markerat det område som roterar.

fast här ser det ut som att y=x+1 är övre oxh y=$\sqrt{x}$+1 är nedre?

Mattehjalp skrev:

fast här ser det ut som att y=x+1 är övre oxh y=$\sqrt{x}$+1 är nedre?

Kroppen som bildas då området roterar kring x-axeln delas in i cirkulärcylindriska skal.

Dessa skal "ligger" ner och deras centrum utgörs av x-axeln.

Varje skal har en radie som är $y$ och en höjd som ör $(\sqrt{x}+1)-(x+1)$, dvs högra gränsen (blå graf) minus vänstra gränsen (röd graf).

menar du att när den roterar kommer den blå hamna uppe

Mattehjalp skrev:

menar du att när den roterar kommer den blå hamna uppe

Nej, jag menar att när området roterar runt x-axeln så kommer den blå grafen att vara till höger och den röda grafenntill vänster.

Avståndet mellan den blåa och den röda grafen vid ett visst y-värde är lika med höjden på skalet med det y-värdet som radie.

Tänk dig en rund konservburk utan vare sig lock eller botten.

Tänk dig att denna konservburk ligger ner och att dess centrum utgörs av x-axeln.

Så ser ett skal ut.

Okej så om vi tänker "Bestäm volymen av den kropp som bildas då området som begränsas av y = x^2 och y = 1 roterar kring linjen y = 2." ska jag då flytta ner grafen 2 steg för att få rotation kring x-axeln ist, så då får jag y=x^2 -2 och x blir x=roten ur (y-2) och rotationsgränserna flyttas ned 2 steg alltså, blir det från y=-1 till y=-2 och sedan så löser jag rotationsvolymen med hjälp av formeln y=2pixy där x=roten ur (y-2)

Mattehjalp skrev:

Okej så om vi tänker "Bestäm volymen av den kropp som bildas då området som begränsas av y = x^2 och y = 1 roterar kring linjen y = 2." ska jag då flytta ner grafen 2 steg för att få rotation kring x-axeln ist, så då får jag y=x^2 -2 och x blir x=roten ur (y-2)

Ja, nästan. Om y = x²-2 så blir ju x² = y+2

och rotationsgränserna flyttas ned 2 steg alltså, blir det från y=-1 till y=-2 och sedan så löser jag rotationsvolymen med hjälp av formeln y=2pixy där x=roten ur (y-2y-2

Hur integralen och integrationsgränserna ser ut beror på om du vill använda skiv- eller skalmetoden.

===== Skivmetoden =====

Skivmetoden går ut på att summera volymbidragen från ett stort antal skivor som ligger staplade på varandra i rotationsaxelns riktning, vilket i detta fallet blir cirkulära skivor med hål I mitten staplade på varandra i x-led. Integrationsriktningen är i axiell led (i detta fallet x-led).

Varje skiva har pga hålet en area $\pi R^2-\pi r^2$, där $R$ är yttre radien, dvs $R=-y=-(x^2-2)=(2-x^2)$, och $r$ är  inre radien, dvs $r=1$.

Integrationsgränserna blir från $x=-1$ till $x=1$

===== Skalmetoden =====

Skalmetoden går ut på att summera volymbidragen från ett stort antal skal som står uppställda utanpå varandra i radiell ledd (som "Ryska dockor"), vilket i detta fallet blir cirkulärcylindriska skal centrerade runt rotationsaxeln. Integrationsriktningen är i radiell led (i detta fallet y-led).

Varje skal har en radie $r$ och en "höjd" $h$, där $r=y$ och $h=2\cdot x$ (på grund av symmetri runt y-axeln).

Integrationsgränserna blir från $y=-1$ till $y=-2$

Vi ser här att det i detta fallet bara blev krångligare med parallellförskjutningen.