Skålens volym med hjälp av integral

Hur kommer jag fram till x utav funktionen y = $7,35 \times {10}^{-5}$ $\times x^4$?

Hej och välkommen till Pluggakuten Xenia85!

Hur lyder uppgiften?

Tack! Uppgiften är följande:

Plocka fram en skål och beräkna dess volym med hjälp av volymberäkning med integraler. Skålen får inte ha en alltför enkel form!

Utför volymberäkningen på två sätt, både genom rotation kring x-axeln och y-axeln.

Jämför ditt beräknade resultat med den mängd vatten som skålen rymmer.

För att lösa uppgiften behöver du anpassa en funktion för skålens form.

Beskriv hur du gick tillväga för att anpassa din funktion.

EDIT - ser nu att det är volymen som skålen rymmer  som efterfrågas

Uppgiften är (möjligtvis avsiktligt) tvetydig: Antingen kan man beräkna volymen som själva skålens material (godset) upptar eller så kan man beräkna hur stor volym skålen rymmer (hur mycket vatten får det plats i skålen). 

Vilken tolkning har du valt?

Du får sedan själv bestämma skålens form. Och du måste ange formen med ett matematiskt samband mellan x och y.

Vilket samband mellan x och y har du valt?

Hur stor ska skålen vara?

Rita en skiss av skålen och beskriv den här eller ännu hellre ladda upp en bild.

Jag tänkte att eftersom skålens botten är platt måste skålens funktion vara en funktion av sorten $y = C\times x^4$.

Jag plottade in de kända värden och kom fram till att konstanten C måste vara $7,35\times {10}^{-5}$. Jag har problem med det nästa steget, som är beräkning av integralen och omskrivning till primitiva funktioner...

Om skålen har en helt platt botten med en viss diameter så är det enklaste att beräkna skålens volym som volymsumman av en cylinder och den rotationskropp som uppstår då den kurvade delen utanför cylindern roterar kring y-axeln.

Cylinderdiametern ör lätt att beräkna och sedan får du anpassa x/y-sambandet för den kurvade delen med hjälp av mätningar. Det blir ett enklare samband.

Men varför har du valt just x^4 som samband för den kurvade delen?

Skålen är helt platt i botten med diametern 8,5 cm. 

Bottens (cylinders) volym är då ${\mathrm{\pi r}}^2$h = $\mathrm{\pi }(8,5{)}^2$$\times 0,2$ = 45,3960 $\approx$ 45,4 $c{m}^3$

Tänker jag rätt här?

Xenia85 skrev :

Skålen är helt platt i botten med diametern 8,5 cm. 

Bottens (cylinders) volym är då ${\mathrm{\pi r}}^2$h = $\mathrm{\pi }(8,5{)}^2$$\times 0,2$ = 45,3960 $\approx$ 45,4 $c{m}^3$

Tänker jag rätt här?

Nej.

Radien r är fel.

Och för höjden h: Cylindern jag menar är inuti skålens urgröpning, alltså en del av volymen som skålen rymmer. Vad är då cylinderns höjd h?

Skippa godstjockleken. Det blir nog enklare om du höjer x-axeln så att den är i linje med skålens botten (insidan).

Såklart är r fel! Så dumt! ska vara 8,5/2 = 4,25

Men jag förstår inte helt vad du menar med höjden. Ska jag bara välja en höjd som är liten nog så att biten jag räknar på ser ut som cylinder. Eller måste jag då ta ett större radie och längre höjd för att få en rätt cylinder?

Den delen som är rakt ovanför den plana botten och upp till skålens kant blir en cylinder, som det är lätt att räkna ut volymen för. Dessutom har du en del till av skålen, som är formad som en knepig ring. Du vill ta fram en matematisk formen som beskriver hur ytterkanten av den ringen ser ut, så att du kan integrera fram volymen av den delen.

Så här.

Nu fattar jag! Satt precis och ritade och kom fram till vad Yngve har ritat också :) Ok, jag testar och återkommer om något blir oklart. Tack så mycket för er hjälp!

Bra att du kommer på det själv. Då sitter det mycket bättre till nästa gång.

Ok, nu har jag ritat och räknat och är tveksam på om jag har gjord rätt eller har evt. missat något?

Jag gjorde så:

Eftersom det är det halva av skålen som ritas, så har jag delt bottens och öppningens diametrar med 2. Det skuggade området är cylindern med volymen ${\mathrm{\pi r}}^2$h = $\mathrm{\pi }\times 4,{25}^2$$\times$ 11,3 = 641,2 $c{m}^3$ = 0,612 liter

Sedan har jag låtit resten snurra runt y-axeln (har tagit bort cylindern från koordinatsystemet).

Jag har också antagit att kurvan än en y = C $\times x^2$ kurva och räknat mig fram till att konstanten C = 11,3/5,65^2 = 0,3539. Så funktionen blir då y = 0,3539 $\times x^2$

Rotationskroppens volym beräknades med integral:

V = $$\begin{gathered} {\int }_0^{11,3}\mathrm{\pi y} dy = {\int }_0^{11,3}\mathrm{\pi }(0,3539 \times {\mathrm{x}}^2) dy = \mathrm{\pi }\left[\frac{0,3539 \times {\mathrm{x}}^3}{3}\right]\underset{0}{\overset{11,3}{}} = \\ \mathrm{\pi }\left(\frac{0,3539 \times 11,3^3}{3}\right) = 534,74 {\mathrm{cm}}^3 = 0,5347 \mathrm{liter} \end{gathered}$$

Sedan adderas volymer: 0,612 + 0,5347 = 1,15 liter

Problemet som jag har är att skålen rymmer 2,2 liter vatten. Kan man acceptera svaret och förklara med felkällor eftersom man omöjligt kan ta fram en funktion som beskriver skålens form exakt utan måste komma så nära som möjligt? Eller har jag gjord fel någonstans?

Du kan inte bara ta bort mitten på det sättet du gjorde. För att ta en enkel parallell: Tänk dig att du har dels en cylinder med radien r och höjden h. Vilken volym har den? Tänk dig sedan att du har en cylindrisk ring med innerdiameter R, ytterdiameter R+r och höjden h. Vilken diameter har den? Inte samma, eller hur?

Dessutom är integranden konstig.

Har du valt skivmetoden eller skalmetoden?

Beskriv hur ditt volymselement ser ut.

Yngve skrev :

Dessutom är integranden konstig.

Har du valt skivmetoden eller skalmetoden?

Beskriv hur ditt volymselement ser ut.

Förlåt, jag förstår inte vad du menar med volymelement. Skivmetoden kör jag efter

smaragdalena skrev :

Du kan inte bara ta bort mitten på det sättet du gjorde. För att ta en enkel parallell: Tänk dig att du har dels en cylinder med radien r och höjden h. Vilken volym har den? Tänk dig sedan att du har en cylindrisk ring med innerdiameter R, ytterdiameter R+r och höjden h. Vilken diameter har den? Inte samma, eller hur?

Cylindern som jag får fram har radien 4,25 cm och höjden 11,3 (samma som skålen). Volymen blir då 641,2 $c{m}^3$ eller 0,6412 liter.

Ringen måste då har innerdiameter 4,25 $\times$ 2 = 8,5 cm och ytterdiameter 19,8 cm (som då är 8,5 + 11,3 cm). Höjden är jag osäker på, den ändrar sig jo eftersom skålens väggar följer en kurva. Har jag förstått dig rätt? 

Är det då rätt att jeg kör efter denna bild? Det är halva skålen här och öppningens radie är 19,8/2 = 9,9. Funktionen uträknas efter detta och blir då y = 0,1153 $\times x^2$

x = $\sqrt{\frac{y}{0,1153}}$

Det är väl nu jag ska beräkna med integralen? Jag har försök med detta men får totalt tokiga värden... Hjälp snälla! Fattar inget :(

Varje cirkelskiva har ett hål i mitten. Det hålet har en konstant radie på 9,9 cm.

Cirkelskivornas yttre radie x varierar med y enligt sambandet y = C*x^2. Det betyder att x^2 = y/C.

Varje cirkelskiva har därför arean pi*'"yttre radie" - pi*"inre radie" = pi*x^2 - pi*9,9^2 = pi*(x^2 - 9,9^2) = pi*(y/C - 9,9^2).

Varje cirkelskiva har en tjocklek som är dy.

Volymselementet är area * tjocklek = pi*(y/C - 9,9^2)dy.

Det är detta volymselement som ska integreras från y = 0 till y = 11,3.

Yngve skrev :

Varje cirkelskiva har ett hål i mitten. Det hålet har en konstant radie på 9,9 cm.

Cirkelskivornas yttre radie x varierar med y enligt sambandet y = C*x^2. Det betyder att x^2 = y/C.

Varje cirkelskiva har därför arean pi*'"yttre radie" - pi*"inre radie" = pi*x^2 - pi*9,9^2 = pi*(x^2 - 9,9^2) = pi*(y/C - 9,9^2).

Varje cirkelskiva har en tjocklek som är dy.

Volymselementet är area * tjocklek = pi*(y/C - 9,9^2)dy.

Det är detta volymselement som ska integreras från y = 0 till y = 11,3.

Med hålet menar du väl den cylinder som finns i mitten. Då är den konstanta radien 4,25 och inte 9,9...

En anna fråga: när jag sedan beräknar integral och ska skriva primitiva funktioner, ska jag skriva $\frac{y}{C}$ = $\frac{y}{0,1153 } = y\times 0,{1153}^{-1} = \frac{y^2}{2}\times 0,1153x^{-1}$? Jag är helt lost här...

Ja förlåt, jag skrev fel. Jag menar att hålets radie är 4,25 cm.

Om funktionen är y/C så är en primitiv funktion y^2/2C. 

Pröva själv att det stämmer - derivera y^2/2C och verifiera att du får y/C som resultat.

Det är viktigt att du skapar dig en bild av hur dina skivor ser ut för att du ska få fram rätt integrand.

Här är en enkel skiss som illustrerar hur man kan komma fram till volymselementets utseende.



Tusen tack för al hjälp, Yngve! Jag har nu räknat och kommit fram till ett värde som är ganska nära den volym vatten som skålen rymmer. Så jag är nöjd :) 

Är super tacksam!

Xenia85 skrev :

Tusen tack för al hjälp, Yngve! Jag har nu räknat och kommit fram till ett värde som är ganska nära den volym vatten som skålen rymmer. Så jag är nöjd :) 

 

Är super tacksam!

Vad bra!

Hängde du med på hur man kunde resonera sig fram till det hela?

Som du ser så är skisser ovärderliga.

I uppgiften ingick även att beräkna volymen med hjälp av rotation kring x-axeln.

Kan du lösa den uppgiften själv?

Du får du lämpligen vrida skålen 90 grader medurs så att den plana bottenytan linjerar med y-axeln.

Om du kan hitta ett samband y = f(x) som beskriver skålens form även under x-axeln så kan du välja en enklare lösningsmetod, skippa cylindern och skivorna med hål i mitten.

Kan du hitta ett a och b som stämmer med din fysiska skål så blir detta väldigt enkelt.

Det är viktigt att du skapar dig en bild av hur dina skivor ser ut för att du ska få fram rätt integrand.

Här är en enkel skiss som illustrerar hur man kan komma fram till volymselementets utseende.



Snyggt Yngve! Du borde få månades pris för god pedagogik imho :)