Skalärprodukt - riktningsvektorer

Det blir olika tecken på svaret.

(1, 3, -7) . (2, 1, 10) blir 2+3-70 = -65
(1, 3, -7) . (-2, -1, -10) blir -2-3+70 = 65

I fysikaliska sammanhang får man fundera över vad tecknet betyder - t.ex. att energi överförs åt olika håll.

1. Men som i detta fallet om man har ett plan, en inkommande stråle och en utgående. De riktningsvektorer jag har går ju in och ut - om jag tar skalärprodukten mellan dem hur tolkar jag svaret då?

Vad jag är ute efter är att räkna ut vinkeln mellan dem

EDIT: 2. Hur vänder jag på en riktningsvektor?

Skalärprodukten är den ena vektorns projektion på den andra gånger den andras längd, alltså a*b = |a||b| cos φ, där φ är vinkeln mellan dem. Om skalärprodukten blir negativ betyder det helt enkelt att cos φ är mindre än noll, dvs. φ är större än 90°.

HT-Borås skrev :

Skalärprodukten är den ena vektorns projektion på den andra gånger den andras längd, alltså a*b = |a||b| cos φ, där φ är vinkeln mellan dem. Om skalärprodukten blir negativ betyder det helt enkelt att cos φ är mindre än noll, dvs. φ är större än 90°.

Okej men vet inte riktigt hur det besvarade min fråga - ser det inte...

Sen lade jag precis till en till fråga där - under "2".

eller vänta lite - hur menar du? skalärprodukten är väl antingen a*b eller längden av a gånger längden av b * cos theta mellan dem??

HT-Borås skrev :

Skalärprodukten är den ena vektorns projektion på den andra gånger den andras längd, alltså a*b = |a||b| cos φ, där φ är vinkeln mellan dem. Om skalärprodukten blir negativ betyder det helt enkelt att cos φ är mindre än noll, dvs. φ är större än 90°.

Det blir antingen som på översta bilden eller som på nedersta. Ja, skalärprodukten är längden av a gånger längden av b gånger cos theta mellan dem.

1. Nope - får inte ihop detta:

Uppgiften är att beräkna ekvationen för ett plan. Vad man har är att inkommande stråle har ekvationen (x,y,z)=t*(2,-1,-2) utgående som ingående övergår i har ekvationen (x,y,z)=t*(1,2,-2)

jag tänkte att ingående vektor kan vara 2,-1,-2

och utgående är 1,2,-2

Så om man vänder på tecknen i ingående för att beräkna vinkeln mellan dessa två så får man -4 som skalärprodukt samt 3*3*cos theta = -4 ----> cos theta = -4/9

Vilket jag inte kan lösa ut en vinkel ur utan miniräknare.

Så jag tänkte prova om man tänker att ingående linje fortsätter genom planet och beräknade skalärprodukten mellan den vektorn och den ut ur planet längst med utgående linjen. Men då fick jag samma!

Vad gör jag för fel? för om vinkeln mellan dem på ovansidan planet är ca 116 grader kan den mellan lnijen som fortsätter ut och linjen som reflekteras inte OCKSÅ vara detta. De två vinklarna tillsammans borde väl bli 180 tillsammans?

2. Vad jag hade tänkt försöka med var att beräkna cos theta på ovansidan planet och dela detta med två och försöka beräkna normalen - vilket ger koefficienterna för x y och z i planets ekvation. Och sedan tillsammans med skärningspunkten för linjerna få fram en punkt i planet - som ger d i planets ekvation. Men uppenbarligen är inte detta rätt strategi.

Ledning? har kört fast...

I reflexionen byter strålen tecken i normalens riktning, men är oförändrad tangentiellt med planet. Du vet strålens riktning in och ut, vilket ger normalens riktning. 

Räknar du skalärprodukt på de två vektorerna blir det +4, inte -4.

Dr. G skrev :

I reflexionen byter strålen tecken i normalens riktning, men är oförändrad tangentiellt med planet. Du vet strålens riktning in och ut, vilket ger normalens riktning. 

Hänger inte med...

HT-Borås skrev :

Räknar du skalärprodukt på de två vektorerna blir det +4, inte -4.

hur får du + 4? jag får 2-2-4

2*1+(-1)*2+(-2)*(-2)

HT-Borås skrev :

2*1+(-1)*2+(-2)*(-2)

oj, pinsamt - tack! dock blir inte vinkeln lättare att jobba med... eller kan man få ut ngt i radianer av 4/9?

Det är en vinkel på cirka 64 grader. Det kan du alltid uttrycka i radianer om du vill.

HT-Borås skrev :

Det är en vinkel på cirka 64 grader. Det kan du alltid uttrycka i radianer om du vill.

Vet du vad Dr. G menade med ovan?
"I reflexionen byter strålen tecken i normalens riktning, men är oförändrad tangentiellt med planet. Du vet strålens riktning in och ut, vilket ger normalens riktning. "

Om strålen delas upp i komponenter, en vinkelrätt mot planet, så speglas den och går tillbaka, och en utefter planet, så fortsätter den oförändrad åt samma håll efter speglingen.

HT-Borås skrev :

Om strålen delas upp i komponenter, en vinkelrätt mot planet, så speglas den och går tillbaka, och en utefter planet, så fortsätter den oförändrad åt samma håll efter speglingen.

Så jag ska dela upp inkommande stråle i två komposanter? men hur gör man detta när man inte har varken planet eller normalvektorn, eller något annat, att projicera på ?

Jag tänkte att om ingående stråles riktning är u, normalen är n och utgående stråles riktning är v (alla vektorer normerade), så gäller att

$\mathit{v}=\mathit{u}-2\left(\mathit{u}\mathbf{·}\mathit{n}\right)\mathit{n}$ 

Utgående vektor minus ingående pekar i normalens riktning

$\mathit{v}-\mathit{u}\mathbf{=}-2\left(\mathit{u}\mathbf{·}\mathit{n}\right)\mathit{n}\mathbf{=}k\mathit{n}$

Normalen pekar då här längs (1,2,-2)/9 - (2,-1,-2)/9 = (-1,3,0)/9.  Normalens riktning ger planet (om man vet en punkt i planet).

(Normering var inte helt nödvändigt, men det blir knas om inte v och u har samma längd.)

Dr. G skrev :

Jag tänkte att om ingående stråles riktning är u, normalen är n och utgående stråles riktning är v (alla vektorer normerade), så gäller att

$\mathit{v}=\mathit{u}-2\left(\mathit{u}\mathbf{·}\mathit{n}\right)\mathit{n}$ 

Utgående vektor minus ingående pekar i normalens riktning

$\mathit{v}-\mathit{u}\mathbf{=}-2\left(\mathit{u}\mathbf{·}\mathit{n}\right)\mathit{n}\mathbf{=}k\mathit{n}$

Normalen pekar då här längs (1,2,-2)/9 - (2,-1,-2)/9 = (-1,3,0)/9.  Normalens riktning ger planet (om man vet en punkt i planet).

(Normering var inte helt nödvändigt, men det blir knas om inte v och u har samma längd.)

Det här sambandet känner jag inte till. Hur får man fram det/vart kommer det ifrån?

Man ritar en fin figur, t.ex den nedan som jag googlade fram:

Det kan vara värt att veta att

$\left(\mathit{u}·\mathit{n}\right)\mathit{n}$

är den del av u som är parallell med n. Denna del byter tecken i reflexionen.  Då blir 

$\mathit{u}-\left(\mathit{u}·\mathit{n}\right)\mathit{n}$

den del av u som är vinlkelrät mot n. Denna del är oförändrad i reflexionen.

(om man vill spexa så kan man även skriva den som en kryssprodukt $\mathit{u}-\left(\mathit{u}·\mathit{n}\right)\mathit{n}\mathbf{=}\mathit{n}\mathbf{\times }\left(\mathbf{u}\mathbf{\times }\mathbf{n}\right)$)