Skalärprodukt, Cauchys olikhet

Använd skalärprodukt för att bevisa den så kallade Cauchys olikhet:

(x1^2 + y1^2) • (x2^2 + y2^2) ≥ (x1x2 + y1y2)^2

Hur ska jag bevisa detta? Jag vet att en vektor multiplicerat med en annan ska vara lika med absolutbeloppet av vektorerna multiplicerat med varandra och cos för en vinkel.

Vet även att en vektor multiplicerat med en annan kan skrivas x1 • x2 + y1 • y2

Tack för hjälpen

Jag antar att dom vill att du ska utgå ifrån att

$<x, y> = ||x|| ||y|| \cos θ$

där $\theta$ är vinkeln mellan vektorerna. Kvadrera båda sidorna och se om du kan göra en övre uppskattning på HL i likheten jag skrev här ovanför.

Trådar som postas i underforumet Bevis måste ha det kompletta beviset i ursprungsinlägget. Det är således inte ett bevis och tråden flyttas därmed till ett annat forum. /moderator

Hej!

Skalärprodukt av två vektorer $x=(x_1, x_2)$ och $y=(y_1, y_2)$ kan beräknas på två sätt:

$x\cdot y = x_1y_1 + x_2y_2$

och

$x\cdot y = \sqrt{x_1^2+x_2^2}\sqrt{y_1^2+y_2^2}\cos\theta,$

där $\theta$ betecknar vinkeln mellan de två vektorerna. Använd dessa båda sätt för att uttrycka absolutbeloppet $|\cos \theta|.$ Cauchy-Schwarz olikhet blir då samma sak som den självklara olikheten

$|\cos \theta |\leq 1.$

Albiki

Svara

Visa senaste svar