Skalärprodukt - "Visa att" uppgift.

Om sidornas vektorer är a och b, är du då med på att diagonalernas vektorer är

a + b

respektive

a - b

?

Dr. G skrev:

Om sidornas vektorer är a och b, är du då med på att diagonalernas vektorer är

a + b

respektive

a - b

?

 Ja, alltså om du börjar i ett hörn, sedan så går du b hitåt och sedan svänger a  ditåt då hamnar du i motsatt hörn till de du startade ifrån.  Att ta sig från de första hörnet till de andra hörnet kan man göra genom att bara vandra längs diagonalen. Är det så du menar? 

Om vektorerna a och b startar i övre högra hörnet så är det a - b (eller b - a) du har ritat.

Dr. G skrev:

Om vektorerna a och b startar i övre högra hörnet så är det a - b (eller b - a) du har ritat.

Jag tänkte lite fel. a ska peka uppåt och b pekar åt vänster. Då får vi diagonalen som är inritad a+b

Dr. G skrev:

Om vektorerna a och b startar i övre högra hörnet så är det a - b (eller b - a) du har ritat.

 då har jag ritat b-a

Det blir ändå a - b!

Det blir enklare om du låter vektorerna utgå från samma hörn.

Dr. G skrev:

Det blir ändå a - b!

Det blir enklare om du låter vektorerna utgå från samma hörn.

 Titta här. 

Detta stämmer väl ?

Korra skrev:

Dr. G skrev:

Det blir ändå a - b!

Det blir enklare om du låter vektorerna utgå från samma hörn.

 Titta här. 

Detta stämmer väl ?

 Visst, jag såg fel!

Ser du hur du kan visa det du ska visa med hjälp av skalärprodukt?

Dr. G skrev:

 Visst, jag såg fel!

Ser du hur du kan visa det du ska visa med hjälp av skalärprodukt?

 Nej, den enda iden som jag har är att hitta på två vektorer a och b och sedan forma ett parallellogram med dem och kolla om påståendet stämmer. Det känns dock som att det inte är rätt att göra så.

Detta verkar ju stämma men jag har inte använt mig utav skalärprodukten för att få fram detta.

Jag förstår inte riktigt vad skalärprodukten är för något. Jag kan formen och jag vet hur man får fram skalärprodukten men jag har inte hittat något bra exempel på vad det är för något, det blir heller inte mer förståeligt om jag säger till mig själv "Skalärprodukten är absolutbeloppet av två vinklar multiplicerat med varandra multiplicerat med cos för mellanliggande vinkeln" En sådan förklaring underlättar inte.

Tänk på att a, b, c, d är vektorer.

Beloppet av d i kvadrat är skalärprodukten av d med d.

d^2 = d*d = (a + b)*(a + b)

Använder du räknereglerna för skalärprodukt så kan detta förenklas till

d^2 = a^2 + b^2 + 2*a*b

Skalärprodukt är ett tal som tillordnas två vektorer. Talet ska följa de 4 räknereglerna för skalärprodukt och vanligen används den euklidiska skalärprodukten som har en fin geometrisk tolkning.

Jag har hittat lite information från "Matematik för gymnasiet" av Nyman och Emanuelsson från 1970.
Först en bild från en sida där de tar upp just en parallellogram och definitionerna du har ovan.
De använder fetstil för vektorer.
Sen bifogar jag tre sidor som förklarar lite av bakgrunden.

Hej!

Två vektorer $a$ och $b$ spänner upp ett parallellogram, där vektorerna $a+b$ och $a-b$ bildar parallellogrammets två diagonaler. 

Diagonalernas längder $|a+b|$ respektive $|a-b|$ är positiva tal som kan beräknas med hjälp av skalärprodukt.

    $\displaystyle |a+b|^2 = (a+b)\cdot(a+b) = a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b = |a|^2+2a\cdot b + |b|^2$

och

    $\displaystyle |a-b|^2 = |a|^2-2a\cdot b + |b|^2$,

där $u\cdot v$ betecknar skalärprodukt mellan vektorer $u$ och $v$.

Du är intresserad av att studera summan $|a+b|^2+|a-b|^2$.

Vart kom $\mathit{u}\mathbf{ }\mathbf{·}\mathbf{ }\mathit{v}$ inhoppandes ifrån?
Hur kommer det sig att du inte väljer absolutbelopp på $-\mathbf{2}\mathit{a}\mathbf{·}\mathit{b}$?
Jag förstår att vi vill bli av med termerna sedan, men det ser lite ologiskt ut för ett otränat öga som mitt.
Ursäkta att jag är inne på ett område som jag inte behärskar, men det är en riktigt lärorik uppgift när man försöker begripa den.

Tack allihopa. Jag har fått en större förståelse för skalärprodukt men jag är inte riktigt där än känns det som. 
Om man multiplicerar två vektorer så menar man skalärprodukten. Alltså $\mathit{a}\mathbf{·}\mathit{b}=a·b·\cos \left(\theta \right)$  om vi antar att de bokstäverna som inte skrivs med fet stil är längden på vektorerna.

Det står även i min bok att:
"Skalär produkten är ett mått på två vektorers samverkan."
Vad betyder det? 

Om du tittar på bilden från boken som jag klistrade in ovan där kapitlet började ser du tydligt att det är två vektorers samverkan och att när vinkeln är noll och vektorerna är lika långa så blir summan vektorn i kvadrat.

ConnyN skrev:

Om du tittar på bilden från boken som jag klistrade in ovan där kapitlet började ser du tydligt att det är två vektorers samverkan och att när vinkeln är noll och vektorerna är lika långa så blir summan vektorn i kvadrat.

 Njaa, förstår fortfarande inte. Vadå samverkan, hur samverkar de två vektorerna?  Om jag får gissa nu så säger jag att De samverkar genom att tillsammans bilda en vinkel, är det denna samverkningen som man menar eller vad menar man egentligen med samverkan?

Om du tittar på bilden en gång till och på exemplen under den så ser du precis hur de samverkar vid olika vinklar.

Dvs. Den ena vektorn har sin längd, men den andra vektorn speglas ner på den första vektorn och där kommer cos fi in.

Ungefär som när du adderar krafter och har en x-del och en y-del.

ConnyN skrev:

Om du tittar på bilden en gång till och på exemplen under den så ser du precis hur de samverkar vid olika vinklar.

Dvs. Den ena vektorn har sin längd, men den andra vektorn speglas ner på den första vektorn och där kommer cos fi in.

Ungefär som när du adderar krafter och har en x-del och en y-del.

 Nepp, jag kan inte se det på samma sätt som du ser det, Jag förstår inte vad du menar.  Ja har tittat ett antal gånger nu och jag begriper inte vad du menar. 

"hur de samverkar vid olika vinklar" Nej, jag ser inte det och vet inte vad jag ska kolla efter. 
Speglas ned på den första? Den ena är ju längre så någon perfekt spegelbild blir det väl inte men till en viss del så speglar de varandra på sätt och vis med en vinkel emellan.

Tänk dig att du har ett paraply. För enkelhets skull är det alldeles platt, och vi definierar paraplyets riktning som den riktning som skaftet har.

Tänk dig att man håller paraplyet rakt ovanför sig, så att skaftet är vertikalt. Om regnet kommer vertikalt, så skyddar paraplyet jättebra mot regnet, men om det börjar blåsa också, så skyddar paraplyet sämre och sämre ju snedare regnet är. Om det regnar horisontellt (som det ofta gör i Göteborg) så skyddar inte paraplyet alls mot regnet.

Paraply(skaft)ets riktning och regnets riktning kan ses som två vektorer. Om vektorerna pekar åt samma håll blir skalärprodukten, d v s skyddet, stort, om de är vinkelräta blir skalärprodukten 0.

Smaragdalena skrev:

Tänk dig att du har ett paraply. För enkelhets skull är det alldeles platt, och vi definierar paraplyets riktning som den riktning som skaftet har.

Tänk dig att man håller paraplyet rakt ovanför sig, så att skaftet är vertikalt. Om regnet kommer vertikalt, så skyddar paraplyet jättebra mot regnet, men om det börjar blåsa också, så skyddar paraplyet sämre och sämre ju snedare regnet är. Om det regnar horisontellt (som det ofta gör i Göteborg) så skyddar inte paraplyet alls mot regnet.

Paraply(skaft)ets riktning och regnets riktning kan ses som två vektorer. Om vektorerna pekar åt samma håll blir skalärprodukten, d v s skyddet, stort, om de är vinkelräta blir skalärprodukten 0.

Det var en spännande och rolig förklaring. Jag förstår allt du skriver hoppas jag, jag begriper också att cos(v) avgör storleken på skalärprodukten. Då v = 90 så är skalärprodukten 0 och om v = 0 så är skalärprodukten bara längden på de båda vektorerna multiplicerade med varandra.  Man tänker bara på hur enhetscirkeln fungerar och så förstår man hur skalärprodukten avgörs av vinkeln.    Det är nog den enda nyttiga information jag kan hitta i din roliga förklaring.   Kan du göra en lista på vad du hoppades på att jag skulle förstå efter att ha förstått hela din förklaring. För då vet jag om jag har missat något som du försöker förklara. 

EDIT: Jag vet fortfarande inte vad skalärprodukt är för något eller hur man föreställer sig det, men nu vet jag även att den avgörs av vinkeln som du förklarade.

Tack snälla.

Äsch, du har förstått vad jag ville få fram, jag ville bara ge dig en bild att hänga upp det på.

Det går nog inte att "förstå" vad skalärprodukt är, bara acceptera att det är så.

Smaragdalena skrev:

Äsch, du har förstått vad jag ville få fram, jag ville bara ge dig en bild att hänga upp det på.

Det går nog inte att "förstå" vad skalärprodukt är, bara acceptera att det är så.

 Klart det går att förstå vad skalärpdoukt är för något, hur kom man arnars på det?

På samma sätt som man inte kan föreställa sig ett tal som blir minus ett när man kvadrerar det, men man kan lära sig att räkna med det.

Hej!

En vektor kan uppfattas på olika sätt:

1. Som en ordnad lista av tal.
2. Som en pekande pinne.
3. Som ett element i ett vektorrum.

Tolkningen 2 fungerar bara i två och tre dimensioner, medan tolkningarna 1 och 3 fungerar i GODTYCKLIG dimension. Matematiker använder tolkningen 3 och dataloger har nytta av tolkningen 1; fysiker tycker att tolkningen 2 är cool.

Om vektorrummet har tillräckligt mycket struktur så att det går att definiera en inre produkt på vektorrummet så kan man använda denna inre produkt för att tala om vinklar mellan vektorer; ett annat namn för inre produkt är skalärprodukt. (Det finns också något som kallas yttre produkt på vektorrummet.)

Smaragdalena skrev:

På samma sätt som man inte kan föreställa sig ett tal som blir minus ett när man kvadrerar det, men man kan lära sig att räkna med det.

 Du pratar im i^2 tror jag.     Jag menar bara, hur kunde man komma fram till att "skalärprodukt" är skalärprodukt om man inte har någon förståelse för det?  Den/de som uppfann både skalärprodukt och de komplexa talsystemet(i^2=-1) måste ha vetat va de gjort.     

Det finns säkert förklaringar som man kan förstå någonstans där ute. 

För att fortsätta på min liknelse så kan man använda skalärprodukten för att beräkna hur mycket regn paraplyet skyddar mot, om vi tänker oss att den ena vektorns storlek beror på på paraplyets årets area och den andra är hur mycket det regnar.

EDIT: Rättade autocorrupt - jag har en ny mobil med aggressiv stavningskontroll - det är många ändringar jag har upptäckt i tid och ändrat tillbaka, men den här missade jag!

 Bra förklaring Smaragdalena. Du menar naturligtvis omkrets och inte att det ska vara "årets paraply". Förlåt vitsen.

Lägger man också till cos fi för vinkeln på lutningen av regnet, som du nämnde så är det komplett.

Jag vet inte vad du läser Korra, men det kan nog vara bra att svälja en del som kommer att klarna senare. Själv repeterar jag gymnasiematte för att hänga med på fysikföreläsningar och nu börjar jag förstå att jag behöver läsa linjär algebra också, men än så länge är det bara roligt och pluggakuten är verkligen en stor kunskaps och inspirationskälla. Hoppas att du kan känna detsamma.

ConnyN skrev:

 Bra förklaring Smaragdalena. Du menar naturligtvis omkrets och inte att det ska vara "årets paraply". Förlåt vitsen.

Lägger man också till cos fi för vinkeln på lutningen av regnet, som du nämnde så är det komplett.

Jag vet inte vad du läser Korra, men det kan nog vara bra att svälja en del som kommer att klarna senare. Själv repeterar jag gymnasiematte för att hänga med på fysikföreläsningar och nu börjar jag förstå att jag behöver läsa linjär algebra också, men än så länge är det bara roligt och pluggakuten är verkligen en stor kunskaps och inspirationskälla. Hoppas att du kan känna detsamma.

 Jag läser Linjär algebra på universitetet som fristående kurs.  Ja, jag måste acceptera vissa saker som klarnar senare. Du har helt rätt, jag har gjort det förr under gymnasiekurserna.   Jag håller med.   

Smaragdalena skrev:

För att fortsätta på min liknelse så kan man använda skalärprodukten för att beräkna hur mycket regn paraplyet skyddar mot, om vi tänker oss att den ena vektorns storlek beror på på paraplyets årets area och den andra är hur mycket det regnar.

EDIT: Rättade autocorrupt - jag har en ny mobil med aggressiv stavningskontroll - det är många ändringar jag har upptäckt i tid och ändrat tillbaka, men den här missade jag!

 Ja okej, jag nöjer mig sådär.   Tack så mycket allihopa, för hjälpen och för att ni står ut med att jag frågar mycket.(Om det finns någon som upplever det som jobbigt)

Tvärtom alltid bättre med frågor. Att mötas med tystnad är nästan svårast.