Skalär (Matematik/Universitet)

heymel skrev :
https://www.pixeltopic.com/image/zbgelrwwjxtri/ såhär är uppgiften, jag har lärt mig ungefär hur man gör när det är P1 (grad 1 då alltså) och då har man gjort såhär

https://www.pixeltopic.com/image/tucgeykjmfkonck/ jag hänger inte med vad det gulmarkeade kommer ifrån??? och fortsättning: https://www.pixeltopic.com/image/detwfqdvjainsa/

https://www.pixeltopic.com/image/detwfqdvjainsa/?size=full vet inte om länken fungerade?

Det gulmarkerade kommer helt enkelt från Grahm-Schmidt. Du vill bestämma det så att vektorn blir ortogonal mot $b_1$ . Du har ju då att

$<b_{1}, v - b_{1} <v, b_{1}>> = <b_{1}, v> - <b_{1}, b_{1} <v, b_{1}>> = <b_{1}, v> - <v, b_{1}> <b_{1}, b_{1}> = <b_{1}, v> - <v, b_{1}> \cdot 1 = 0$

Så alltså är $v - b_{1} <v, b_{1}>$ ortogonal mot $b_1$ .

Stokastisk skrev :
Det gulmarkerade kommer helt enkelt från Grahm-Schmidt. Du vill bestämma det så att vektorn blir ortogonal mot $b_1$ . Du har ju då att
$<b_{1}, v - b_{1} <v, b_{1}>> = <b_{1}, v> - <b_{1}, b_{1} <v, b_{1}>> = <b_{1}, v> - <v, b_{1}> <b_{1}, b_{1}> = <b_{1}, v> - <v, b_{1}> \cdot 1 = 0$
Så alltså är $v - b_{1} <v, b_{1}>$ ortogonal mot $b_1$ .

Så jag kommer när det gäller grad 3:

b1 = 1
b2 = v2 (eller?) = x - (x,1)
b3 = b2 - x^2-(x^2,x^3)

å nu är det då grad 3?

Nja, först måste du fixa basen för $x^2$

Du verkar ha kommit fram till

$b_1=1,\quad b_2=x-1$

låt

$v_3=x^2-\langle x^2,b_2\rangle b_2-\langle x^2,b_1\rangle b_1$

Sedan normerar du för att få $b_3=\frac{v_3}{||v_3||}=\frac{1}{2}(x^2-4x+2)$

Stokastisk skrev :
Det gulmarkerade kommer helt enkelt från Grahm-Schmidt. Du vill bestämma det så att vektorn blir ortogonal mot $b_1$ . Du har ju då att
$<b_{1}, v - b_{1} <v, b_{1}>> = <b_{1}, v> - <b_{1}, b_{1} <v, b_{1}>> = <b_{1}, v> - <v, b_{1}> <b_{1}, b_{1}> = <b_{1}, v> - <v, b_{1}> \cdot 1 = 0$
Så alltså är $v - b_{1} <v, b_{1}>$ ortogonal mot $b_1$ .

https://www.pixeltopic.com/image/tucgeykjmfkonck/ men när man fortsätter här då, är det att de ska bli lika med 1? eller är det att det blir lika med 1?

Nu förstår jag nog inte riktigt vad du menar, vad är det som är ett?

Stokastisk skrev :
Nu förstår jag nog inte riktigt vad du menar, vad är det som är ett?

Denna, https://www.pixeltopic.com/image/tucgeykjmfkonck/ det är två sidor

Jo jag förstod vilken bilden var, men det finns tre stycken lika med 1 på sidan, så det skulle underlätta om du var mer specifik med vad du undrar det är som "ska bli ett"?

Stokastisk skrev :
Jo jag förstod vilken bilden var, men det finns tre stycken lika med 1 på sidan, så det skulle underlätta om du var mer specifik med vad du undrar det är som "ska bli ett"?

förlåt, integralerna!

Okej, ja båda integralerna är ett. Du har att

$\int_{0}^{\infty} e^{- x} d x = {- e^{- x}}_{0}^{\infty} = 0 - (- e^{0}) = 1$

samt att

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x = {- x e^{- x}}_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{- x} d x = 0 + \int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x = 1$

Guggle skrev :
Nja, först måste du fixa basen för $x^2$
Du verkar ha kommit fram till
$b_1=1,\quad b_2=x-1$
låt
$v_3=x^2-\langle x^2,b_2\rangle b_2-\langle x^2,b_1\rangle b_1$
Sedan normerar du för att få $b_3=\frac{v_3}{||v_3||}=\frac{1}{2}(x^2-4x+2)$

Okej så om jag har fattat hela den här uppgiften rätt nu: med hjälp av era svar :D

vi har ju basen ${1, x, x^{2}, x^{3}}$ och vi bygger den sökta mängden mha Gram schmidt;

||1||² = (1,1) = $\int_{0}^{i n f t y} e^{- x} d x = 1$

och för att de ska bli en normerad basvektorer genom att sätta:

$b_{1} = 1 o c h b_{2} = x - 1$

vi sätter sedan

$v_{2} = x - (x, 1)$

och får en vektor ortogonal mot b1, vi beräknar då

$(x, 1) = \int_{0}^{i n f t y} x e^{- x} d x = 1$ som betyder då att

v1 = x-1, som vi normerar:

||x-1||²=(x-1,x-1)= $\int_{0}^{i n f t y} (x - 1)^{2} e^{- x} d x = 1$

och så sätter vi

$v_{3} = x^{2} - (x^{2}, b_{2}) b_{2} - (x^{2}, b_{1}) b_{1}$ som normeras till (i gram schmidt, som guggle sa, så får vi $b_{3 = \frac{v_{3}}{| | v_{3} | |}}$ )

men eftersom lösningsförslaget använder integral så tänker jag att jag får något i stil med, men är inte riktigt med på va $x^{2} - 4 x + 2 = (x - 2)^{2} - 2$ hur det kan bli det? för försöker ju få den i stil som:

||x-1||²=(x-1,x-1)=integralen

Du verkar mixa ihop lite. Du får $b_2$ genom att

$b_{2} = \frac{v_{2}}{||v_{2}||} = x - 1$

Sedan beräknar du mycket riktigt

$v_{3} = x^{2} - (x^{2}, b_{2}) b_{2} - (x^{2}, b_{1}) b_{1} = x^{2} - 4 (x - 1) - 2 = x^{2} - 4 x + 2$

Sedan kan man kvadratkomplettera och få att

$x^{2} - 4 x + 2 = x^{2} - 4 x + 4 - 2 = (x - 2)^{2} - 2$

om man vill det. Man beräknar $(x^2, b_2)$ och $(x^2, b_1)$ genom att beräkna integralerna.

Stokastisk skrev :
Du verkar mixa ihop lite. Du får $b_2$ genom att
$b_{2} = \frac{v_{2}}{||v_{2}||} = x - 1$
Sedan beräknar du mycket riktigt
$v_{3} = x^{2} - (x^{2}, b_{2}) b_{2} - (x^{2}, b_{1}) b_{1} = x^{2} - 4 (x - 1) - 2 = x^{2} - 4 x + 2$
Sedan kan man kvadratkomplettera och få att
$x^{2} - 4 x + 2 = x^{2} - 4 x + 4 - 2 = (x - 2)^{2} - 2$
om man vill det. Man beräknar $(x^2, b_2)$ och $(x^2, b_1)$ genom att beräkna integralerna.

hmmm

okej, men då (om jag försöker få iordning på alting) så är det så att den kommer ifrån :

b2 = $(x, 1) = \int_{0}^{i n f t y} x e^{- x} d x = 1$

Nej du låter alltså

$v_2 = x - 1\cdot(x, 1) = x - 1\cdot 1 = x - 1$

sedan har du att normen på $v_1 = 1$ så du får direkt att

$b_2 = v_2 = x - 1$

Stokastisk skrev :
Nej du låter alltså
$v_2 = x - 1\cdot(x, 1) = x - 1\cdot 1 = x - 1$
sedan har du att normen på $v_1 = 1$ så du får direkt att
$b_2 = v_2 = x - 1$

okej, hur blir det då med v3?

Du måste beräkna

$(x^{2}, b_{2}) = \int_{0}^{\infty} x^{2} (x - 1) e^{- x} d x$

och

$(x^{2}, b_{1}) = \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x} d x$

Sedan får du $v_3$ genom uttrycket jag skrev tidigare.

Under beräkningarna, t.ex.

$\langle x^2,b_2\rangle=\int_0^{\infty}(x^2)(x-1)e^{-x}\mathrm{d}x$

Används integralerna $\int_0^{\infty}x^ne^{-x}\mathrm{d}x=n!$ så går beräkningarna lekande lätt.

Stokastisk skrev :
Du måste beräkna
$(x^{2}, b_{2}) = \int_{0}^{\infty} x^{2} (x - 1) e^{- x} d x$
och
$(x^{2}, b_{1}) = \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x} d x$
Sedan får du $v_3$ genom uttrycket jag skrev tidigare.

$| | 1 | |^{2} = (1, 1) = \int_{0}^{i n f t} e^{- x} d x = 1 v i s ä t t e r s e d a n v_{2} = (x - 1) * (x_{1}) = x - 1 * 1 = x - 1, s o m s k a v a r a o r t o g o n a l m o t v 2 : (x, 1) = \int_{0}^{i n f t} x e^{- x} d x = 1 v i l k e t b e t y d e r a t t b_{2 =} x - 1, s o m v i n o r m e r a r t i l l b_{2} | | x - 1 | |^{2} = (x - 1, x - 1) = \int_{0}^{i n f t y} (x - 1)^{2} e^{- x} d x = 1 s e d a n s å h a r v i s i s t a v e k t o r n v_{3} f å r v i a v : (x^{2}, b_{2}) = \int_{0}^{i n f t y} x^{2} (x - 1) e^{- x} d x = \int_{0}^{i n f t y} (x^{3} - x^{2}) e^{- x} d x = 4 o c h (x^{2}, b_{1}) = \int_{0}^{i n f t y} x^{2} e^{- x} d x = 2 o c h a n v ä n d e r e k v a t i o n e n v 3 = x^{2} - (x^{2}, b_{2}) b_{2} - . . . . . . . . = x^{2} - 4 x + 2 = (x - 2)^{2} - 2$

och sedan ska v3 sättas då i en integral och beräknas å sen är det klart?????

Ja sen ska du beräkna normen på $v_3$ , men du är inte klar då, detta eftersom du ska beräkna en bas till $P_3$ och inte bara till $P_2$ .

Stokastisk skrev :
Ja sen ska du beräkna normen på $v_3$ , men du är inte klar då, detta eftersom du ska beräkna en bas till $P_3$ och inte bara till $P_2$ .

$D å n o r m e r a r j a g s å h ä r d å p å v_{3} : v_{3} = | | (x - 2)^{2} - 2 | |^{2} = (((x - 2)^{2} - 2), ((x - 2)^{2} - 2)) = \int_{0}^{i n f t} ((x - 2)^{2} - 2) e^{- x} d x = 0 ? ? d u b b e l k o l l a m e d w o l f r a m$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=int%5Einfty_0+((x-2)%5E2-2)e%5E%7B-x%7Ddx

${||v_{3}||}^{2} = \int_{0}^{\infty} (x^{2} - 4 x + 2)^{2} e^{- x} d x$

Stokastisk skrev :
${||v_{3}||}^{2} = \int_{0}^{\infty} (x^{2} - 4 x + 2)^{2} e^{- x} d x$

okej! =)

Och så ska jag göra P3? för nu har jag bara gjort till P2?

då blir det

v4 = v3 - (v3,b2)/||b2||² * b2 - (v3,b1)/||b3||² * b3?

:S

Först ska du ju beräkna

$b_3 = v_3/\|v_3\|$

Sedan får du ju $v_4$ genom att

$v_{4} = x^{3} - (b_{3}, x^{3}) b_{3} - (b_{2}, x^{3}) b_{2} - (b 1, x^{3}) b_{1}$

Så sen beräknar du

$b_4 = v_4/\|v_4\|$

Stokastisk skrev :
Först ska du ju beräkna
$b_3 = v_3/\|v_3\|$
Sedan får du ju $v_4$ genom att
$v_{4} = x^{3} - (b_{3}, x^{3}) b_{3} - (b_{2}, x^{3}) b_{2} - (b 1, x^{3}) b_{1}$
Så sen beräknar du
$b_4 = v_4/\|v_4\|$

$b_{3} = v_{3} / | | v_{3} | | = \frac{x^2 - 4 x + 2}{\int_{0}^{i n f t y} (x^{2} - 4 x + 2)^{2} e^{- x} d x} = \frac{x^{2} - 4 x + 2}{4} n ä ä ? ? ? f ö r j a g t ä n k e r a t t j a g k o l l a r u p p p å m i n u t r ä k n i n g 6 i n l ä g g u p p å t (r ä k n a t f r å n d e t d u s k r e v s e n a s t)$

Du har alltså att

${||v_{3}||}^{2} = \int_{0}^{\infty} (x^{2} - 4 x + 2)^{2} e^{- x} d x = 4$

Notera nu att det är en kvadrat på normen. Detta innebär att

$||v_{3}|| = 2$

Så alltså är

$b_3 = \frac{x^2 - 4x + 2}{2}$

Stokastisk skrev :
Du har alltså att
${||v_{3}||}^{2} = \int_{0}^{\infty} (x^{2} - 4 x + 2)^{2} e^{- x} d x = 4$
Notera nu att det är en kvadrat på normen. Detta innebär att
$||v_{3}|| = 2$
Så alltså är
$b_3 = \frac{x^2 - 4x + 2}{2}$

$o k e j s å d å b l i r v_{3} = x^{3} - (\frac{x^2 - 4 x + 2}{2}, x^{3}) * (\frac{x^2 - 4 x + 2}{2}) (1) - (x - 1, x^{3}) * (x - 1) (2) - (1, x^{3}) 1 (3)$

där första termen (1) blir: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(%7B(x%5E2-4x%2B2)%2F2),+x%5E3%7D+.+%7B(x%5E2-4x%2B2)%2F2),+x%5E3%7D)+*+(x%5E2-4x%2B2)%2F2

(2) andra termen blir: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(%7B(x-1),x%5E3%7D+.+%7B(x-1),x%5E3%7D)+*(x-1)

(3) tredje termen: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B1,x%5E3%7D+.+%7B1,x%5E3%7D

kan det verkligen stämma? att det är så man gör? det känns ju lite konstigt?

Fast nu har du ju skrivit in det där väldigt konstigt. Wolframalpha kan inte automagiskt veta vad du jobbar med för inre produkt. Exempelvis så är

$((x^2 - 4x + 2)/2, x^3) = \int_0^{\infty} \frac{x^2 - 4x + 2}{2} x^3 dx$

samma för de andra inre produkterna.

Stokastisk skrev :
Fast nu har du ju skrivit in det där väldigt konstigt. Wolframalpha kan inte automagiskt veta vad du jobbar med för inre produkt. Exempelvis så är
$((x^2 - 4x + 2)/2, x^3) = \int_0^{\infty} \frac{x^2 - 4x + 2}{2} x^3 dx$
samma för de andra inre produkterna.

$o k e j, s å, h a h a u r s h v a d j a g k ä n n e r m i g t r ö g; v_{3} = x^{3} - \int_{0}^{i n f t} \frac{x^2 - 4 x + 2}{2} x^{3} d x - \int_{0}^{i n f t} (x - 1) x^{3} d x - \int_{0}^{i n f t y} 1 x^{3} d x$

Fast nu glömmer du att multiplicera med $b_1$ , $b_2$ och $b_3$ . Kolla igen på formeln jag skrev för $v_4$ , ta och beräkna integralerna var för sig. Alltså ta och beräkna

$(b_3, x^3)$

$(b_2, x^3)$ och

$(b_1, x^3)$

sedan behöver du bara sätta in det du vet i formeln jag skrev för $v_4$ tidigare i tråden.

Stokastisk skrev :
Fast nu glömmer du att multiplicera med $b_1$ , $b_2$ och $b_3$ . Kolla igen på formeln jag skrev för $v_4$ , ta och beräkna integralerna var för sig. Alltså ta och beräkna
$(b_3, x^3)$
$(b_2, x^3)$ och
$(b_1, x^3)$
sedan behöver du bara sätta in det du vet i formeln jag skrev för $v_4$ tidigare i tråden.

Men grejen är ju att dom sticker ju ändå iväg mot oändligheten? de konvergerar ju inte?

Jaha, jag tittade inte ordentligt. Du har glömt $e^{-x}$ i integranden.

Stokastisk skrev :
Jaha, jag tittade inte ordentligt. Du har glömt $e^{-x}$ i integranden.

$v 4 = \int_{0}^{i n f t} \frac{x^2 - 4 x + 2}{2} e^{- x} * x^{3} d x - \int_{0}^{i n f t} (x - 1) e^{- x} * x^{3} d x - \int_{0}^{i n f t} 1 e^{- x} * x^{3} d x s e d a n s k a j a g n o r a m e r a d e t s v a r e t j a g f å r ?$

Nej nu slarvar du väldigt mycket hela tiden.

$(b_{3}, x^{3}) = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2} - 4 x + 2}{2} x^{3} e^{- x} d x (b_{2}, x^{3}) = \int_{0}^{\infty} (x - 1) x^{3} e^{- x} d x (b_{1}, x^{3}) = \int_{0}^{\infty} x^{3} e^{- x} d x$

Beräkna dessa integraler var för sig, vad får du för värden? Sedan gäller det att

$v_{4} = x^{3} - (b_{3}, x^{3}) b_{3} - (b_{2}, x^{3}) b_{2} - (b_{1}, x^{3}) b_{1}$

Någon som läser Linjär Algebra II?

Stokastisk skrev :
Nej nu slarvar du väldigt mycket hela tiden.
$(b_{3}, x^{3}) = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2} - 4 x + 2}{2} x^{3} e^{- x} d x (b_{2}, x^{3}) = \int_{0}^{\infty} (x - 1) x^{3} e^{- x} d x (b_{1}, x^{3}) = \int_{0}^{\infty} x^{3} e^{- x} d x$
Beräkna dessa integraler var för sig, vad får du för värden? Sedan gäller det att
$v_{4} = x^{3} - (b_{3}, x^{3}) b_{3} - (b_{2}, x^{3}) b_{2} - (b_{1}, x^{3}) b_{1}$

Jag tänkte det i min hjärna, men jag skrev fel. Jag tackar så himla mkt! (jag fick allting till $x^{3} - 9 x^{2} + 18 x - 6$ och sen så normerar jag: http://www.wolframalpha.com/input/?i=int%5Einfty_0+(x%5E3-18((x%5E2-4x%2B2)%2F2)-18(x-1)-6)x%5E4e%5E%7B-x%7Ddx och drar roten ur och får 24, så

v4/||v4|| = polynomet ovan / 24?

Du har skrivit in fel integral. Det gäller att

${||v_{4}||}^{2} = \int_{0}^{\infty} (x^{3} - 9 x^{2} + 18 x - 6)^{2} e^{- x} d x = 36$

Så normen är alltså $\sqrt{36} = 6$ . Därför så blir

$b_4 = v_4/6$ .

Sen är det klart.

Stokastisk skrev :
Du har skrivit in fel integral. Det gäller att
${||v_{4}||}^{2} = \int_{0}^{\infty} (x^{3} - 9 x^{2} + 18 x - 6)^{2} e^{- x} d x = 36$
Så normen är alltså $\sqrt{36} = 6$ . Därför så blir
$b_4 = v_4/6$ .
Sen är det klart.

Jaha, okej, jag trodde att den x^4 skulle vara med där i den integralen :) men oki! Tack så supppersuper-mycket!

Okej, men bara så att du inte missar det, du har ju att relationerna som gäller är

${||v_{4}||}^{2} = (v_{4}, v_{4}) = \int_{0}^{\infty} v_{4} v_{4} e^{- x} d x = \int_{0}^{\infty} v_{4}^{2} e^{- x} d x$

Stokastisk skrev :
Okej, men bara så att du inte missar det, du har ju att relationerna som gäller är
${||v_{4}||}^{2} = (v_{4}, v_{4}) = \int_{0}^{\infty} v_{4} v_{4} e^{- x} d x = \int_{0}^{\infty} v_{4}^{2} e^{- x} d x$

det makes sense nu när du säger det, at det kommer såklart bli så ^^