Ska man använda partiell integrering för att hitta primitiv funktion här?

Jag förstår inte vad du frågar efter. Själv skulle jag substituera t = x².

För att hitta den primitiva funktionen till ${\int }_0^{\infty } 2x· e^{-x^2}$ska man använda sig av partiell integrering dvs formeln: 

Vem säger det? Vad händer om du gör det?

Det går dessvärre inte att använda partiell integration här.

Man måste inse att derivatan av $-x^2$ är $-2x$, och att vi därför (om vi kompenserar med ett minustecken) har den inre derivatan, och därmed är integranden bara derivatan av $-e^{-x^2}$, och alltså är den primitiva funktionen $-e^{-x^2}$.

När man lär sig mer om detta formaliserar man detta resonemang till något som kallas för en substitution, men på gymnasiet blir det tyvärr lite gissningslek.

Här diskuterade vi samma problem för ett tag sedan:

https://www.pluggakuten.se/trad/generaliserade-integraler-3/

Hur gör man med variabelsubsitutionmetoden? Gör man såhär: 

$$\begin{gathered} t = -x^2 \\ \underset{a\to \infty }{\lim } {\int }_{0 }^a 2x · e^t \end{gathered}$$

Hur gör man då för att hitta primitiv funktion? 

Ungefär. Du behlver få bort dx och få dit dt. Med dt =2xdx så blir det så. 

När man gör variabelsubstitutioner måste man även ta hänsyn till differentialerna ($dx$ och $dt$). Det är inte så enkelt som att bara byta variabler.

Om vi skall göra substitutionen $t=-x^2$ måste vi ta reda på vad $dx$ är uttryck i $dt$. För det tar vi derivatan av $t$ med avseende på $x$:

$\dfrac{dt}{dx}=-2x$

Sedan kan vi multiplicera båda led med $dx$ och få:

$dt=-2x\ dx$

$-dt=2x\ dx$

(Som du vet är derivatan egentligen inte ett bråk, så detta är inte särskilt rigoröst, men det är en bra minnesregel)

Vi får alltså att $2x\ dx=-dt$. Vi måste även sätta in gränserna i $t=-x^2$ så att vi får $x=0\Rightarrow t=0$ och $x=\infty\Rightarrow t=-\infty$. Då får vi:

$\displaystyle\int_0^\infty2xe^{-x^2}\ dx=-\int_0^{-\infty}e^t\ dt$

Det är kanske bättre att börja med ett lättare exempel (kanske en icke-generaliserad integral) om du inte stött på variabelsubstitutioner förut.

Det känns inte så jätteobekant, jag tror jag arbetade med substitutionsmetoden redan i Ma3. Men jag ska läsa mer om detta. Tack för hjälpen! :)

Substitutionsmetoden i integraler ingår inte i Ma3, möjligen i Ma4.