Sista fråga (...) Tappat minustecken

Hej!

Det gäller att $\sqrt{x^2}=|x|$ vilket medför att

    $\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{|x|}=sign(x).$

Eftersom $x$ närmar sig $-\infty$ så är sign(x) lika med $-1$.

Hmm jag är ledsen men jag förstår inte. Det är ju $\sqrt{x^2}/\sqrt{x^2}$, $-1/-1=1?$

Hej Dajaaaaaaaa!

När du kvadrerar ett tal utrotar du informationen om dess tecken. Om du sedan löser ut talet från ett rotuttryck måste du återföra teckeninformationen

$\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2+1}=|x|(\sqrt{1+3/x}+\sqrt{1+1/x^2})$

När $x<>$ blir $|x| = -x$ Alltså blir ditt uttryck

$\lim_{x\to -\infty}\frac{3x-1}{-x(\sqrt{1+3/x}+\sqrt{1+1/x^2})}$

Guggle skrev:

Hej Dajaaaaaaaa!

När du kvadrerar ett tal utrotar du informationen om dess tecken. Om du sedan löser ut talet från ett rotuttryck måste du återföra teckeninformationen

$\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2+1}=|x|(\sqrt{1+3/x}+\sqrt{1+1/x^2})$

När $x<>$ blir $|x| = -x$ Alltså blir ditt uttryck

$\lim_{x\to -\infty}\frac{3x-1}{-x(\sqrt{1+3/x}+\sqrt{1+1/x^2})}$

 Kan du förklara mer hur detta fungerar?

Jag antog att vi delade men den starkaste faktor $x$. Och då spelar det ingen roll om den är positiv eller negativ. $\frac{-\infty }{-\infty }=1$, eller hur?

dajamanté skrev:

Jag antog att vi delade men den starkaste faktor $x$. Och då spelar det ingen roll om den är positiv eller negativ. $\frac{-\infty }{-\infty }=1$, eller hur?

Du beräknar aldrig $\frac{-\infty}{-\infty}$!. Faktorn du bryter ut ur rotuttrycket är $\sqrt{x^2}=|x|$. Det du beräknar är $\frac{x}{|x|}$

När $x>0$ är $|x|=x$

När $x<>$ är $|x|=-x$

Jämför dessa två uttryck:

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\lim_{x\to \infty}\frac{x}{|x|}=\lim_{x\to \infty}\frac{x}{x}=1$

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{|x|}=\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{-x}=-1$

Men egentligen delade jag med x:an i täljaren, den som tillhör trean :). Och den här tryckte jag in nämnaren, så att det blev x i kvadrat.

Ok, detta gör inga sense va?

Du delade med x i täljaren, men inte i nämnaren.

I nämnaren delade du med (roten ur x^2) och det är inte samma sak.

Division med starkaste termen ger:

$\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{ {\displaystyle \frac{3x}{x}} -{\displaystyle \frac{1}{x}} }{ \left(\sqrt{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}+{\displaystyle \frac{3}{x}}} +\sqrt{ \frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x}}\right)}=\frac{3}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0}}=\frac{3}{2}$, men rätt svar är $-\frac{3}{2}$. Var har jag tappat minuset?

 Prova med t.ex. x=-100

Ursprungliga uttrycket blir $\sqrt{9700} -\sqrt{10001}$ och du ser direkt att det blir negativt.

Din omskrivning ger först $\frac{-301}{\sqrt{9700}+\sqrt{10001}}$ och vi ser fortfarande att det blir negativt.

Sedan delar du täljaren med -100 och får en positiv täljare 3.01. Men vad har du gjort i nämnaren? Du har delat uttrycken under rottecknet med 10000, dvs du har delat hela nämnaren med $\sqrt{10000}$.

Vet ni va, jag hade egentligen aldrig reflekterat att $x$:or vi delar med i sådana uttryck hade sitt eget identitet 🤭. Jag trodde att man delade med en generisk $x$ på varje våning, inte att vi delade med $x$:et som stådde där!!

Så i mitt uttryck var det en positiv i täljaren och $|x|$ i nämnaren?

Det förklarar en hel del matematiska fel som jag har gjort över åren...