Sinussatsen två fall
Hej!
När man vill ta reda på en vinkel i en triangel m.h.a. sinussatsen, vad är det som gör att det i vissa fall inte finns två lösningar? sin v = k har ju alltid två lösningar, v1 och v2 = 180 - v1. Jag förstår att i vissa fall är den angivna vinkeln t.ex. 50 grader adderat med v2 blir större än 180 grader. Därför är triangeln omöjlig. Men jag förstår ändå inte riktigt varför den skulle vara omöjlig, när man ändå kan få två reella lösningar från sin v = k. Liksom vad är det som gör att sin v = k har begränsningar? Varför fungerar den formeln inte alltid, varför kan man inte alltid använda både v1 och v2? Beviset med enhetscirkeln visar ju att ekvationen sin v = k alltid har två lösningar mellan 0 och 360 grader. Då tycker jag att det alltid borde finnas två lösningar när man använder sinussatsen.
Om du vill ha hjälp med det aktuella problemet måste du beskriva vilka vinklar och sträckor man känner i triangeln och vad det är man söker. Jag kan här därför bara kommentera problemet rent allmänt.
Fenomenet du beskriver förekommer ganska ofta i problemlösning, inte bara i trigonometri. Om man skriver upp en ekvation för att lösa ett problem, så måste alla lösningar kontrolleras mot det problem som gav upphov till ekvationen.
Här det enklaste exempel jag kan komma på just nu: En rätvinklig triangel har hypotenusan 5 och ena kateten 3. Bestäm den andra kateten.
Lösning: Låt den sökta kateten vara x. Pythagoras sats ger x2 +32 =52 Den får rötterna x = 4 och x =-4. Den sistnämnda roten måste förkastas eftersom ingen sträcka kan vara negativ.
Ett annat exempel är rotekvationer, som kan få s k falska rötter.
Om man skriver upp en ekvation för att lösa ett problem, så måste alla lösningar kontrolleras mot det problem som gav upphov till ekvationen.
Det är just detta jag vill förstå, fast bara lite djupare. Jag vill inte bara veta att jag måste kontrollera lösningar mot problemet. Jag vill veta varför jag måste göra så. Vad är det som specifikt ger upphov till att sin v = k ibland har en lösning som inte passar det ursprungliga problemet? Jag upplever det nästan som att det är matematiken som är bristfällig. Jag tycker ju att man borde ju uppfinna någon "formel" för att alltid komma fram till det rätta svaret. Känns lite löjligt att man måste gå tillbaka till det ursprungliga problemet för att se om matematiken har funkat.
Vi tar ett nytt problem: Kvadraten på ett negativt tal adderas med 9 varvid resultatet blir 25. Vilket är talet?
Lösning: Antag att talet är x. Då är x2 + 9 = 25 som ger rötterna +4 och - 4. Det är samma ekvation som ovan, men denna gången är det den positiva roten som ska förkastas.
Alltså: Två olika problem kan leda till samma ekvation, men valet av vilken rot som ev. förkastas är diametralt motsatta. ELLER
Tar vi bort ordet "negativt" i problemet ovan, så måste vi godkänna båda rötterna ELLER
"Kvadraten på ett tal som är större än 5 adderas med 9 varvid resultatet blir 25. Vilket är talet? Samma ekvation, men denna gången måste båda rötterna förkastas eftersom ingen av dem är större än 5.
Det är logiken som styr. Schematiskt ser det ut så här: PROBLEM medför EKVATION medför RÖTTER. dvs implikationen går åt höger. Men för att lösa PROBLEMET måste vi hitta RÖTTER som medför att PROBLEMETs villkor är uppfyllda, dvs implikationen ska gå åt vänster. Det är detta vi kollar när vi kollar rötterna.
Tomten skrev:Vi tar ett nytt problem: Kvadraten på ett negativt tal adderas med 9 varvid resultatet blir 25. Vilket är talet?
Lösning: Antag att talet är x. Då är x2 + 9 = 25 som ger rötterna +4 och - 4. Det är samma ekvation som ovan, men denna gången är det den positiva roten som ska förkastas.
Alltså: Två olika problem kan leda till samma ekvation, men valet av vilken rot som ev. förkastas är diametralt motsatta. ELLER
Tar vi bort ordet "negativt" i problemet ovan, så måste vi godkänna båda rötterna ELLER
"Kvadraten på ett tal som är större än 5 adderas med 9 varvid resultatet blir 25. Vilket är talet? Samma ekvation, men denna gången måste båda rötterna förkastas eftersom ingen av dem är större än 5.
Det är logiken som styr. Schematiskt ser det ut så här: PROBLEM medför EKVATION medför RÖTTER. dvs implikationen går åt höger. Men för att lösa PROBLEMET måste vi hitta RÖTTER som medför att PROBLEMETs villkor är uppfyllda, dvs implikationen ska gå åt vänster. Det är detta vi kollar när vi kollar rötterna.
Tack, det var en bra och mycket pedagogisk förklaring.
Men i fallet med sinussatsen då. Säg att vi har en triangel. Vi löser problemet enligt ditt schema och får två lösningar. Sedan löser vi problemet baklänges, och vi kommer fram till att bara en lösning stämmer. Min fråga är, just vid vilket delmoment i denna tillbakagång av schemat kommer man märka att det bara är en enda lösning som stämmer? Och då menar jag inte att man kommer märka att triangelns vinkelsumma hade blivit >180°. Utan jag tror det måste finnas något annat som kan visa varför det andra svaret inte passar i lösningen. Eller är jag återigen ute och cyklar?
Det är svårt att ge ett generellt svar på en så öppen fråga. Mitt tips är som vanligt: Rita!
Själva kontrollen är inte problemet utan mer kanske att veta vad det är som ska kontrolleras. Men om uppgiften frågar efter vinklar och du har räknat fram olika alternativa vinklar, då är det vinklarna som ska kontrolleras. Är det en triangel är det vinkelsumman 180 grader, en fyrhörning 360 e t c. Detta är ditt ansvar, men det är inte bara du som har ansvar, också på den som ger en uppgift vilar ett ansvar. Det sista exemplet jag gav illustrerar lite vad som händer när uppgiftsgivaren inte tar sitt ansvar. Den uppgiften skulle lura många elever och det är inte matematik. Ger man en uppgift ska den tjäna till ökat lärande eller att kontrollera att en viss kunskap finns hos eleven så att man kan ta nästa steg.
En helt annan sak är det i forskning, för där vet ju ingen vare sig om uppgiften är lösbar eller kanske inte ens om den är meningsfull. Men då är också alla parter införstådda med den situationen.
I ett djupare perspektiv är inte ens matematiken invändningsfri. Detta har faktiskt bevisats under 1930-talet (slå upp Kurt Gödels ofullständighetssatser)
