sinuskurva el

sin(314t + pi/2) är ett reellt tal, utan imaginärdel. Hur kommer du från vänsterledet till högerledet?

Lite oklart vad du menar.

sin(100$\pi$t + $\pi$/2) är inte lika med cos($\pi$/2) + jsin($\pi$/2).

sin(100$\pi$t + $\pi$/2) = Im($e^{j\mathrm{\pi }/2}·e^{j100\mathrm{\pi t}}$) = Im$\left((\cos \left(\mathrm{\pi }/2\right)+j\sin \left(\mathrm{\pi }/2\right))·e^{j100\mathrm{\pi t}}\right)$.

Tack för svaret.

Ska försöka förtydliga min fråga.

I uppgiften är växelspänningen u(t)= 20*sin(314t-pi/2), spänningen U blir U=20*(cos(-pi/2)+j*sin(-pi/2))=-j20. Min fråga är varför ändras tecknet till plus?

Edit; vilket tecken ändras till + var? 

Tecknet ändras inte.

Det är fasvinkeln som är negativ.

En sinusformad växelspänning med amplitud $A$ och fasvinkel $v$ kan skrivas $A\angle v$, vilket kan representeras med det komplexa talet $A\cdot e^{jv}$, vilket i sin tur kan skrivas som $A\cdot\cos(v)+A\cdot j\cdot\sin(v)$.

I ditt fall är amplituden $20$ och fasvinkeln $-\frac{\pi}{2}$, vilket gör att växelspänningen kan representeras av det komplexa talet $20\cdot e^{-\frac{\pi}{2}j}$, vilket i sin tur kan skrivas $20\cdot\cos(-\frac{\pi}{2})+20\cdot j\cdot\sin(-\frac{\pi}{2})$.

Hängde du med?

-----------

Din andra fråga gällde hur det skulle bli om växelspänningen var uttryckt med en cosinusfunktion istället för en sinusfunktion.

Cosinusfunktionen ser exakt likadan ut som sinusfunktionen, med enda skillnaden att den är förskjuten $\frac{\pi}{2}$.

Därför kan du börja med att skriva om uttrycket till en sinusfunktion med hjälp av sambandet $\cos(v)=sin(\frac{\pi}{2}-v)$.

Tack för en bra förklaring. Nu förstår jag!

Angående frågan om cosinusfunktion istället för sinusfunktion. Om uppgiften hade varit u(t)=20*cos(314t + pi/4) hade jag kunnat använda A*cos(v) + A*j*sin (v) på samma sätt?

Eller måste jag först omvandla cosinusfunktion till sinusfunktion och sedan använda A*cos(v) + A*j*sin (v)?

20*cos(314t + pi/4) =20*sin(314t + pi/4 + pi/2)

student20 skrev:

...

20*cos(314t + pi/4) =20*sin(314t + pi/4 + pi/2)

Nej inte riktigt.

Eftersom $\cos(v)=\sin(\frac{\pi}{2}-v)$ så är

$20\cdot\cos(314t+\frac{\pi}{4})=$

$=20\cdot\sin(\frac{\pi}{2}-(314t+\frac{\pi}{4}))$.

Kan du fortsätta själv?

Nej, jag förstår inte helt. För att omvandla cosinusfunktion till sinusfunktion så måste jag lägga till 90 grader, så varför blir det 20*sin( pi/2-(314t+pi/4)?

Så sinusfunktionen blir 20*sin (-314t + pi/4)?

90^o motsvarar $\pi/2$ radianer.

student20 skrev:

Nej, jag förstår inte helt. För att omvandla cosinusfunktion till sinusfunktion så måste jag lägga till 90 grader, så varför blir det 20*sin( pi/2-(314t+pi/4)?

Så sinusfunktionen blir 20*sin (-314t + pi/4)?

Nej, du ska inte lägga till 90 grader (dvs pi/2 radianer), du ska istället använda formeln jag angav, nämligen cos(v) = sin(pi/2 - v). Kolla gärna i formelsamlingen.

I ditt fall är v = 314t + pi/4 och du får då alltså att cos(314 t + pi/4) = sin(pi/2 - (314t + pi/4)) = sin(pi/2 - 314 t - pi/4) = sin(pi/4 - 314t).

Att lägga till $\frac{\pi }{2}$ borde fungera utmärkt.

$\cos x = \frac{d\sin x}{dx} = \frac{d}{dx}Im\left(e^{jx}\right) = Im\left(\frac{d{e}^{jx}}{dx}\right) = Im\left(j{e}^{jx}\right) = Im\left(e^{j(x+\mathrm{\pi }/2)}\right)$ = $\sin (x+\mathrm{\pi }/2)$.

Ja det stämmer. det går lika bra att addera pi/2 till vinkeln som att ta pi/2 minus vinkeln.

Jag tänkte lite fel där. Eller kanske inte tänkte alls.

Ja den vägen leder också till Rom.

cos(x) = sin(pi/2 - x) = -sin(x - pi/2) = sin(x - pi/2 + pi) = sin(x + pi/2).

Blir det rätt så :

u(t)=20*cos (314t + pi/4)= 20*sin(pi/4 -314t)

U=20*(( cos(pi/4) + j*sin(pi/4))= 14 + j*14

Man får vara lite försiktig här.

Den första raden är förstås formellt korrekt. 

Men när det gäller den andra raden måste man tänka igenom hur sambandent mellan den faktiska spänningen u(t) och den komplexa spänningen U ser ut. Definitionerna kan variera mellan olika läroböcker. Tex följande definitioner är vanliga:

u(t) = Im$\left(U{e}^{j\omega t}\right)$

u(t) = Im$\left(\sqrt{2}U{e}^{j\omega t}\right)$

u(t) = Re$\left(U{e}^{j\omega t}\right)$

u(t) = Re$\left(\sqrt{2}U{e}^{j\omega t}\right)$.

Så du måste först kolla vilken definition som används i din lärobok/kurstext och sedan bör du kolla om ditt svar stämmer överens med definitionen.

Tack för all hjälp.