singulära värden till en matris egenskaper

Det kommer till exempel visa sig att du måste ha $n$ nollskilda singulära värden. Men för att visa det behöver du dels ha en definition av vad singulära värden är, dels lite matematiska verktyg. Ett effektivt verktyg som kan hjälpa dig koppla ihop egenvärden och singulära värden är SVD (singular value decompositon), har ni kanske gått igenom det?

Uppvärmning: Hur många nollskilda egenvärden måste en inverterbar matris ha?

D4NIEL skrev:

Det kommer till exempel visa sig att du måste ha $n$ nollskilda singulära värden. Men för att visa det behöver du dels ha en definition av vad singulära värden är, dels lite matematiska verktyg. Ett effektivt verktyg som kan hjälpa dig koppla ihop egenvärden och singulära värden är SVD (singular value decompositon), har ni kanske gått igenom det?

Uppvärmning: Hur många nollskilda egenvärden måste en inverterbar matris ha?

Jag tänker att om vi har en inveterbar matris vet vi att  vi kan skriva den på "piviot-form". Dessutom måste det vara en n*n-matris för att vara inventerbar. Dessa två kommer innebär att vi måste ha n stycken egenvärden. 

Dock osäker vad gäller nollskilda egenvärden.

antar att hypotetiska alla egenvärden skulle kunna ha samma värde, att det inte måste ha "individuella värden"

Polynomet $\det(A-\lambda I)$ kallas det karaktäristiska polynomet till matrisen $A$. Vid närmare studie kan man utveckla determinanten och notera några viktigt samband vilket jag hoppas att ni gjorde under grundkursen. Det gäller bland annat att produkten av alla egenvärden

$\lambda_1 \lambda_2\dots \lambda_n=\det A$

För en inverterbar $n\times n$-matris $A$ gäller vidare att $\det A\neq 0$. Därmed måste

$\lambda_1\lambda_2\dots \lambda_n\neq 0$

Men detta är bara möjligt om samtliga egenvärden $\lambda_1,\dots \,lambda_n$ är nollskilda.

Alternativt bevis: En egenvektor $\mathbf{x}$ måste vara nollskild per definition och uppfylla ekvationen

$A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$

Men detta leder till en motsägelse om vi multiplicerar med $A^{-1}$ från vänster för $\lambda=0$, ty

$\mathbf{x}=A^{-1}\lambda \mathbf{x}$

Alltså måste samtliga egenvärden $\lambda$ vara nollskilda eftersom $A^{-1}$ existerar (inverterbar matris) och $\mathbf{x}\neq 0$.