Singling med slumpmässigt vald slant bland fem möjliga
Du har fem slantar, av vilka två har krona på bägge sidor, en har klave på bägge sidor,
och de två är som vanligt. Du singlar en slumpmässigt vald slant.
(a) Vad är sannolikheten att den nedre sidan är krona?
(b) Du öoppnar ögonen och ser att övre sidan visar krona.
i. Vad är sannolikheten att den nedre sidan är krona?
ii. Om du singlar slanten igen, vad är då sannolikheten att den nedre sidan är
krona?
Så här långt har jag kommit:
Fem slantar:
s1 = {kr, kr}
s2 = {kr, kr}
s3 = {kl, kl}
s4 = {kr, kl}
s5 = {kr, kl}
a) För att det ska finnas möjlighet att få en krona på nedre sidan måste någon av alternativen s1, s2, s4 eller s5 ha valts. Detta ger en sannolikhet på 4/5. Eller ska man tänka att även om man har fått s3 så finns det 2/3 sannolikhet att man har klave på nedre sidan? Jag är helt förvirrad.
Det blir inte bättre med bi) eller bii).
Skulle verkligen uppskatta all hjälp.
Kan du lösa det i varje fall av dessa.
Fall 1: Du vet att det är s1 eller s2 du har singlat.
Fall 2: Du vet att det är s3 du har singlat.
Fall 3: Du vet att det är s4 eller s5 du singlat.
Vad är sannolikheten att du är i respektive fall?
Stokastisk skrev :Kan du lösa det i varje fall av dessa.
Fall 1: Du vet att det är s1 eller s2 du har singlat.
Fall 2: Du vet att det är s3 du har singlat.
Fall 3: Du vet att det är s4 eller s5 du singlat.
Vad är sannolikheten att du är i respektive fall?
Nu förvirrar du mig ännu mer. Hur kan jag ha hamnat i s1 eller s2 i första fallet? Det kan lika gärna vara s3, s4 eller s5. Jag vet inget om slanten. Jag har bara singlat det.
I andra fallet, så kan jag vara i antingen s1, s2, s4 eller s5. Jag kan inte ha singlat s3 eftersom den inte visar en krona på övre sidan och vi vet att s3 har klave på bägge sidor.
a) 10 möjliga utfall och 6 av dem har kr nedåt. 6/10=3/5
bi) 4 möjliga mynt s1,s2,s4,s5
50% (2/4) att man fått ett mynt som har krona även på andra sidan.
bii) Samma 4 möjliga mynt, vilket ger 8 möjliga utfall varav 6 har krona nedåt. 6/8=3/4
Jag måste ha missuppfattat frågan, detta vore för enkelt för att vara på högskolan.
Om du missade det så menade försökte jag bara förklara hur du tänker i a) uppgiften till en början. Så du måste alltså vara i något av fall 1, fall 2 eller fall 3. Om jag är ett allvetande orakel och berättar för dig att du i situationen i a hamnat i fall 1, jag antar att du då kan beräkna sannolikheten att det kommer vara en krona nedåt. Samma om jag berättar för dig att du är i fall 2 och i fall 3. Så vad får du för sannolikheter att du har en krona nedåt i alla dessa tre fall?
Ett sätt att tänka är att du har tio sidor, alla med samma sannolikhet att komma upp. Genom att titta på ovansidan, kan du utesluta en del möjligheter. De du inte har uteslutit har allihop lika stor sannolikhet.
a) kan jag hålla med om eftersom vi har utfallsrummet Omega = {kr, kr, kr, kr, kl, kl, kr, kl, kr, kl}. Sex av dessa är krona och sannolikheten att det hamnar upp som nere är densamma --> 6/10 = 3/5.
bi) tycker jag som joculator; vi har ett nytt utfallsrum Omega(ny) = {kr, kr, kr, kr, kr, kl, kr, kl} eftersom s3 inte kan vara myntet vi har singlat, bägge sidor är ju klave och vi vet att den övre sidan är krona. Alltså borde sannolikheten för att det ska vara krona nere vara 2/4 = 1/2.
bii) borde i så fall vara 6/8 = 2/3.
Men jag tror vår lärare har gjort en tabbe. Den här uppgiften finns med bland våra inluppar och bland extraövningar som har svar och svaren ska vara a) 3/5 bi) 2/3 och bii) 5/6
@Stokastik:
Om jag är i fall 1 så skulle jag säga att sannolikheten att det är krona nedåt är 1.
Om jag är i fall 2 så skulle jag säga att sannolikheten att det är krona nedåt är 0.
Om jag är i fall 3 så skulle jag också säga att sannolikheten att det är krona nedåt är 0 (givet att jag vet att det är krona uppåt).
Eller har jag fel?
MOOO skrev :
bii) borde i så fall vara 6/8 = 2/3.
nej, men 6/8=3/4 :-)
joculator skrev :MOOO skrev :
bii) borde i så fall vara 6/8 = 2/3.
nej, men 6/8=3/4 :-)
Jo, jag vet...skrev fel här. Har skrivit 6/8 = 3/4 i mitt block haha.
MOOO skrev :a) kan jag hålla med om eftersom vi har utfallsrummet Omega = {kr, kr, kr, kr, kl, kl, kr, kl, kr, kl}. Sex av dessa är krona och sannolikheten att det hamnar upp som nere är densamma --> 6/10 = 3/5.
bi) tycker jag som joculator; vi har ett nytt utfallsrum Omega(ny) = {kr, kr, kr, kr, kr, kl, kr, kl} eftersom s3 inte kan vara myntet vi har singlat, bägge sidor är ju klave och vi vet att den övre sidan är krona. Alltså borde sannolikheten för att det ska vara krona nere vara 2/4 = 1/2.
bii) borde i så fall vara 6/8 = 2/3.
Men jag tror vår lärare har gjort en tabbe. Den här uppgiften finns med bland våra inluppar och bland extraövningar som har svar och svaren ska vara a) 3/5 bi) 2/3 och bii) 5/6
@Stokastik:
Om jag är i fall 1 så skulle jag säga att sannolikheten att det är krona nedåt är 1.
Om jag är i fall 2 så skulle jag säga att sannolikheten att det är krona nedåt är 0.
Om jag är i fall 3 så skulle jag också säga att sannolikheten att det är krona nedåt är 0 (givet att jag vet att det är krona uppåt).Eller har jag fel?
Jag får samma svar som din lärare på alla tre frågorna. Jag kan utveckla svaret lite efter lunch.
SvanteR skrev :MOOO skrev :a) kan jag hålla med om eftersom vi har utfallsrummet Omega = {kr, kr, kr, kr, kl, kl, kr, kl, kr, kl}. Sex av dessa är krona och sannolikheten att det hamnar upp som nere är densamma --> 6/10 = 3/5.
bi) tycker jag som joculator; vi har ett nytt utfallsrum Omega(ny) = {kr, kr, kr, kr, kr, kl, kr, kl} eftersom s3 inte kan vara myntet vi har singlat, bägge sidor är ju klave och vi vet att den övre sidan är krona. Alltså borde sannolikheten för att det ska vara krona nere vara 2/4 = 1/2.
bii) borde i så fall vara 6/8 = 2/3.
Men jag tror vår lärare har gjort en tabbe. Den här uppgiften finns med bland våra inluppar och bland extraövningar som har svar och svaren ska vara a) 3/5 bi) 2/3 och bii) 5/6
@Stokastik:
Om jag är i fall 1 så skulle jag säga att sannolikheten att det är krona nedåt är 1.
Om jag är i fall 2 så skulle jag säga att sannolikheten att det är krona nedåt är 0.
Om jag är i fall 3 så skulle jag också säga att sannolikheten att det är krona nedåt är 0 (givet att jag vet att det är krona uppåt).Eller har jag fel?
Jag får samma svar som din lärare på alla tre frågorna. Jag kan utveckla svaret lite efter lunch.
Tack! Skulle uppskattas otroligt! Jag vill verkligen förstå och vill inte bara treva mig igenom den här kursen bara för att ha klarat den.
Alltså för
fall1: Sannolikheten är 1 att krona är nedåt
Fall 2: Sannolikheten att krona är nedåt är 0.
Fall 3: Sannolikheten att krona är nedåt är 1/2.
Om du tar en slumpmässig slant, så är sannolikheten att du tar en slant från fall 1, 2/5, att du tar en från fall 2 är 1/5 att du tar en från fall 3 är 2/5. Vad blir då sannolikheten att du får en krona nedåt?
Ja b, blir ju inte som jag skrev.
I uppgiften står det att det är en krona uppåt. Men det är olika sannolikhet att det är s1,s2 eller s4,s5
Sannolikheten för att det är s1 eller s2 är ju 4/6 dvs 2/3
Stokastisk skrev :Alltså för
fall1: Sannolikheten är 1 att krona är nedåt
Fall 2: Sannolikheten att krona är nedåt är 0.
Fall 3: Sannolikheten att krona är nedåt är 1/2.
Om du tar en slumpmässig slant, så är sannolikheten att du tar en slant från fall 1, 2/5, att du tar en från fall 2 är 1/5 att du tar en från fall 3 är 2/5. Vad blir då sannolikheten att du får en krona nedåt?
Du tänkte så; fall 1, fall 2 och fall 3 är disjunkta händelser --> P("Krona nedåt") = 1*2/5 + 0*1/5 + 1/2*2/5 = 2/5 + 1/5 = 3/5.
Och på ii blir det
4/6 * 1 + 2/6 * 1/2 = 10/12 = 5/6
jag hatar att forumet inte uppdateras automatiskt! Nu har jag ju bara rört till tråden eftersom jag inte såg stokastisks svar.
Sorry.
MOOO skrev :Du har fem slantar, av vilka två har krona på bägge sidor, en har klave på bägge sidor,
och de två är som vanligt. Du singlar en slumpmässigt vald slant.
(a) Vad är sannolikheten att den nedre sidan är krona?
(b) Du öoppnar ögonen och ser att övre sidan visar krona.
i. Vad är sannolikheten att den nedre sidan är krona?
ii. Om du singlar slanten igen, vad är då sannolikheten att den nedre sidan är
krona?Så här långt har jag kommit:
Fem slantar:
s1 = {kr, kr}
s2 = {kr, kr}
s3 = {kl, kl}
s4 = {kr, kl}
s5 = {kr, kl}a) För att det ska finnas möjlighet att få en krona på nedre sidan måste någon av alternativen s1, s2, s4 eller s5 ha valts. Detta ger en sannolikhet på 4/5. Eller ska man tänka att även om man har fått s3 så finns det 2/3 sannolikhet att man har klave på nedre sidan? Jag är helt förvirrad.
Det blir inte bättre med bi) eller bii).
Skulle verkligen uppskatta all hjälp.
Det gäller att komma ihåg att för alla slantar finns det två olika utfall, även om det är till exempel krona på båda sidorna.
Man kan kalla sidorna A och B. Om jag använder din numrering så är både 1A och 1B krona, 5A är krona osv.
För att svara på fråga a så har vi 10 möjliga utfall. Av dem är 6 krona nedåt (1A, 1B, 2A, 2B, 4A, 4B). Svaret blir 6/10 = 3/5.
I fråga bi vet vi att det är en krona överst. Då måste det vara någon av 1A, 1B, 2A, 2B, 4B, 5B, som alla är lika sannolika. Av dem har 1A, 1B, 2A, 2B även en krona underst. Svar 4/6 = 2/3.
I fråga bii plockar vi upp mynten och singlar det igen. För varje möjlighet av 1A, 1B, 2A, 2B, 4B, 5B får vi då två utfall, dvs sammanlagt 12 utfall. Om jag med 1AA menar att jag började med 1A och fick sidan A ned igen får man följande 12 utfall:
1AA, 1AB,1BA, 1BB, 2AA, 2AB, 2BA, 2BB, 4BA, 4BB, 5BA, 5BB.
Av dessa har alla utom 4BA och 5BA krona nedåt. Alltså blir svaret 10/12 = 5/6
SvanteR skrev :MOOO skrev :Du har fem slantar, av vilka två har krona på bägge sidor, en har klave på bägge sidor,
och de två är som vanligt. Du singlar en slumpmässigt vald slant.
(a) Vad är sannolikheten att den nedre sidan är krona?
(b) Du öoppnar ögonen och ser att övre sidan visar krona.
i. Vad är sannolikheten att den nedre sidan är krona?
ii. Om du singlar slanten igen, vad är då sannolikheten att den nedre sidan är
krona?Så här långt har jag kommit:
Fem slantar:
s1 = {kr, kr}
s2 = {kr, kr}
s3 = {kl, kl}
s4 = {kr, kl}
s5 = {kr, kl}a) För att det ska finnas möjlighet att få en krona på nedre sidan måste någon av alternativen s1, s2, s4 eller s5 ha valts. Detta ger en sannolikhet på 4/5. Eller ska man tänka att även om man har fått s3 så finns det 2/3 sannolikhet att man har klave på nedre sidan? Jag är helt förvirrad.
Det blir inte bättre med bi) eller bii).
Skulle verkligen uppskatta all hjälp.
Det gäller att komma ihåg att för alla slantar finns det två olika utfall, även om det är till exempel krona på båda sidorna.
Man kan kalla sidorna A och B. Om jag använder din numrering så är både 1A och 1B krona, 5A är krona osv.
För att svara på fråga a så har vi 10 möjliga utfall. Av dem är 6 krona nedåt (1A, 1B, 2A, 2B, 4A, 4B). Svaret blir 6/10 = 3/5.
I fråga bi vet vi att det är en krona överst. Då måste det vara någon av 1A, 1B, 2A, 2B, 4B, 5B, som alla är lika sannolika. Av dem har 1A, 1B, 2A, 2B även en krona underst. Svar 4/6 = 2/3.
I fråga bii plockar vi upp mynten och singlar det igen. För varje möjlighet av 1A, 1B, 2A, 2B, 4B, 5B får vi då två utfall, dvs sammanlagt 12 utfall. Om jag med 1AA menar att jag började med 1A och fick sidan A ned igen får man följande 12 utfall:
1AA, 1AB,1BA, 1BB, 2AA, 2AB, 2BA, 2BB, 4BA, 4BB, 5BA, 5BB.
Av dessa har alla utom 4BA och 5BA krona nedåt. Alltså blir svaret 10/12 = 5/6
Jag har lite svårt för att förstå intuitionen bakom dessa lösningar; på bi gäller det då att vi har 4 krona uppåt av 6 krona uppåt som skulle kunna ge oss en krona ner till. Det vill säga, att vi har s1 (kr, kr) eller s2 (kr, kr) för att kunna få krona nertill medan om vi har fått s4 (kr, kl) eller s5 (kr, kl) så finns det inga möjliga sätt att få krona nere? Intuitionen här vill ju att jag sannolikheten att få krona nere är 4 av 8 möjliga fall? Varför blir det inte så?
Skulle man kunna tänka sig istället att utfallrummet här är {(kr, kr), (kr, kr), (kr, kr), (kr, kr), (kr, kl), (kr, kl)} --> Om vi har fått krona så är det krona nere, så det finns fyra sådana fall och två av dessa fall har klave nertill --> P("Krona nere"|"Krona uppe") = 4/6 = 2/3? För att uttrycka utfallsrummet annorlunda menar jag {s1, s1, s2, s2, s4, s5} eftersom s1 och s2 båda på två sätt kan få en krona upp och samtidigt ha krona nere.
Vad gäller bii) så borde det alltså bli s1 och s2's fyra utfall blir 8 utfall samtidigt som vi för s4 och s5 kan få kr, kl i första kastet och kl, kr i andra fallet --> 8 + 2 + 2 olika utfall därav 8 +2 av dessa fall har krona nere --> 10/12 = 5/6? Alltså jag har så svårt att intuitivt förstå mig på detta...
MOOO skrev :SvanteR skrev :MOOO skrev :
Skulle man kunna tänka sig istället att utfallrummet här är {(kr, kr), (kr, kr), (kr, kr), (kr, kr), (kr, kl), (kr, kl)} --> Om vi har fått krona så är det krona nere, så det finns fyra sådana fall och två av dessa fall har klave nertill --> P("Krona nere"|"Krona uppe") = 4/6 = 2/3? För att uttrycka utfallsrummet annorlunda menar jag {s1, s1, s2, s2, s4, s5} eftersom s1 och s2 båda på två sätt kan få en krona upp och samtidigt ha krona nere.
Ja, det är så man ska tänka på uppgift bi (om jag förstår dig rätt).
MOOO skrev :SvanteR skrev :Vad gäller bii) så borde det alltså bli s1 och s2's fyra utfall blir 8 utfall samtidigt som vi för s4 och s5 kan få kr, kl i första kastet och kl, kr i andra fallet --> 8 + 2 + 2 olika utfall därav 8 +2 av dessa fall har krona nere --> 10/12 = 5/6?
Ja, det verkar också rätt tänkt!
Ett alternativt sätt på problematiken är att faktiskt beräkna betingade sannolikheterna? Det vill säga, P("Krona nere" | "Krona uppe") = P("Krona uppe" och "Krona nere")/P("Krona uppe") = (2/5)/(6/10) = (2/5)*(10/6) = 4/6 = 2/3.
Har dock svårt att uttrycka bii) på den formen som jag har gjort med bi) ovan...någon som har något förslag?
