Sin3v

Om du har att

$z = \cos(v) + i\sin(v)$

Man kan då beräkna $z^3$ på två olika sätt, ett sätt är att börja med

$(\cos(v) + i\sin(v))^3$

och utveckla parentesen, och en är att använda de moivres lag.

Sedan jämför du realdelen och imaginär delen i de två olika resultaten och dessa måste vara lika.

Moivres lag, blir det då cos(3*v) + i sin (3*v)?

Japp det blir det.

Nu vill inte leka att jag förstår det till topp, har svårt att förstå hur sin3v blir till cos(3v)+sin(3v).. glödlampan i min hjärna tänds inte riktigt...

Ja alltså

$\left(\cos \right(v)+i\sin (v){)}^3=\cos (3v)+i\sin (3v)$

Men sen har du ju också att

$\left(\cos \right(v)+i\sin (v){)}^3={\cos }^3(v)+3i{\cos }^2(v\left)\sin \right(v)-3\cos (v\left){\sin }^2\right(v)-i{\sin }^3(v)$

Nu måste både dessa vara lika, alltså realdelen och imaginärdelen måste vara lika, så man får

$$\begin{gathered} \cos \left(3v\right)={\cos }^3\left(v\right)-3\cos \left(v\right){\sin }^2\left(v\right) \\ \sin \left(3v\right)=3{\cos }^2\left(v\right)\sin \left(v\right)-{\sin }^3\left(v\right) \end{gathered}$$

Nu måste du skriva om dessa så du bara använder $\cos(v)$ i första formeln och $\sin(v)$ i andra.

Nej, nu slocknade glödlampan helt. Andra stycket, varifrån får VL?

Menar du andra formeln i HL? Jag använder då att det generellt gäller att

$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3x y^2 + y^3$

Man kanske inte behöver kunna det utantill (om ni inte gått igenom pascals triangel eller binomialsatsen). Jag har då använt detta med $x = \cos(v)$ och $y = i\sin(v)$.

Men man kan ju också göra så att man använder att

$(x+y{)}^3=(x+y{)}^2(x + y)=(x^2+2xy+y^2)(x + y) =\hspace{0.17em}....$

sen sätter man $x = \cos(v)$ och $y = i\sin(v)$.