=sin2x

En vanlig ansats när man bara har en ensam trigonometrisk funktion i högerledet är att ansätta en linjärkombination av sin- och cosinusfunktioner med samma vinkelfrekvens.

$y_p=A\sin(2x)+B\cos(2x)$

Derivera och sätt in i ekvationen samt identifiera koefficienterna $A$ och $B$. Förhoppningsvis kan du hitta värden på $A$ och $B$ som gör att ekvationen är uppfylld.

Din homogena lösning ser konstig ut, hur fick du fram den? Jag hade förväntat mig

$y_h=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$

där $r_j$ är de komplexa rötterna till den karaktäristiska ekvationen $r^2+4r+20=0$

så jag ska ta pq fomrmlen för r^2+4r+40=0 och r1 och r2 blir homogena lösningen?

Är du bekant med komplexa tal?

Jaa, i menar du va?

Ja, alla uttryck på formen a+b•i. Du kan använda ”pq-formeln” på din andragradare. Du kommer att få komplexa rötter. Återkom om det kör ihop sig.

Så?

4-20 är inte -18. Det är något som är lättare att ta roten ur, som ofta i sådana här uppgifter.

Roten ur -18 är inte heller samma som roten ur 18i.

16, så de blir 4i? Eller roten ur 4i

Bestäm dig. Vad är i för något?

i är ju istället för minus så då blir det roten ur 4i (eftersom de egentligen är totem ur -4)

i är inte i stället för minus. i är roten ur -1.

Roten ur -4 är i gånger roten ur 4, dvs. 2i.

Tänk på att $y_h=C_1e^{r_1}+C_2e^{r_2}$ där $C_1$ och $C_2$ är godtyckliga komplexa tal är den allmänna komplexvärda lösningen. Ibland är man bara intresserad av den allmänna reellvärda lösningen.

Den ges av uttrycket

$y_h=e^{\alpha x}\left(a_1\cos(\beta x)+a_2\sin(\beta x)\right)$

Med de komplexa rötterna $r_{12}=\alpha \pm \beta i\quad\quad$ där $\beta \neq 0$

I detta uttryck är $a_1$ och $a_2$ godtyckliga rella tal.

Man kan visa att det följer ur substitutionen

$a_1=C_1+C_2$

$a_2=i(C_1-C_2)$

och det faktum att lösningsmängden $y(x)$ är reell om och endast om $a_1$ och $a_2$ väljs som reella.

Det är är möjligt att er föreläsare inskränker sig till enbart reellvärda lösningar till den reella ekvationen $y^{\prime\prime}+ay^\prime+by=0$. Konsultera ditt kursmaterial för att förstå vad som förväntas av dig.

För partikulördelen, är det Asin2x+Bcos2x som jag ska derivera 2 gånger och sen stoppa in i ekvationen?

Ja, det är en rimlig ansats och mycket bättre än den första du gjorde med ett polynom. (Ett ändligt polynom kan ju aldrig bli exakt lika med en trig fkn.)

Kör sedan vidare på det sätt du beskriver, för det verkar lovande. Det gäller dock att hålla tungan rätt i mun för här blir det mycket minustecken och inre derivator att hålla reda på.

är jag på rätt väg här?

1. Sätt ut x: en i derivatorna korrekt.

2. Du har glömt båda inre derivatorna i y´´ och den inre derivatan i y´ vid "B-sin 2" 

Kan du visa hur du menar? Blir så förvirrad 

Titta på din röda text: På y har du satt ut 2x på både sin och cox. Så ska det se ut på derivatorna också. Som det nu står är det bara antydningar och det räcker inte.

Hur ska jag göra istället?

Det här är en av de saker som fattas.

Sedan fattas även den Inre derivatan

Såhär?

Så svaret blir såhär?

Nej, sinus (2x) är en sammansatt funktion.

Den yttre funktionen är sinus och den inre funktionen är 2x. Samma sak för cos(2x).

Du måste använda kedjeregeln när du deriverar uttrycket.

Blir kedjeregeln 2x* 1?

tönker att derivatan av x=1

Derivatan av 2x är 2.

Derivatan av sin(2x) är därför cos(2x)•2

Derivatan av A•sin(2x) är därför A•cos(2x)•2, vilket kan skrivas 2A•cos(2x).

Samma sak gäller för derivatan av B•cos(2x)

Försvinner A och B?

Såhär?

Ja, jättebra. Nu gäller det att klura ut för vilka värden på $A$ och $B$ som differentialekvationen är uppfylld.

Hur gör jag det?

Julialarsson321 skrev:

Försvinner A och B?

Nej, de finns kvar.

Julialarsson321 skrev:

Såhär?

Ja, men du ska inte skriva likhetstecken när du egentligen menar att derivatan av det ena är det andra. Ett likhetstecken betyder att det som står till vänster är lika med det som står till höger, och så är det ju inte i det här fallet:

Skriv istället det du tänker, nämligen så här:

• "Derivatan av cos(x) är -sin(x)"
• "Derivatan av 2x är 2"
• "Derivatan av sin(2x) är 2•cos(2x)"

Julialarsson321 skrev:

Hur gör jag det?

På samma sätt som i tidigare uppgifter: Sätt in uttrycken för y_p, y_p' och y_p'' i diffekvationen och bestäm A och B så att ekvationen är uppfylld.

Såhär?

Jag ser tre problem.

1. Det här stämmer inte. Berätta hur du tänker när du går från den första raden till den andra:

2. Vad menar du med det du skriver på raderna under "använder kedjeregeln"?

Tips: Läs mitt svar #32 igen. Långsamt.

3. Jag får helt andra ekvationer för A och B än de du får fram efter "Förenklar". Visa steg för steg hur du kommer fram till dina.

1. Roten ur 16 är 4. Det är -16 så det blir 4i och sen sätter jag i framför roten ur

2. Förstår, gjorde endast så nu när jag tränar inför prov för att de skulle bli så långt annars. Men derivatorna stämmer väl?

Julialarsson321 skrev:

1. Roten ur 16 är 4. Det är -16 så det blir 4i och sen sätter jag i framför roten ur

Jag tror att du tar för stora tankesteg i huvudet. Är du med på att $\sqrt{-16}=\sqrt{(-1)\cdot16}=\sqrt{i^2\cdot16}=\sqrt{i^2}\cdot\sqrt{16}$?

Om ja, fortsätt därifrån. 

Är det rätt såhär långt?

Julialarsson321 skrev:

2. Förstår, gjorde endast så nu när jag tränar inför prov för att de skulle bli så långt annars. Men derivatorna stämmer väl?

Om du skriver så så tror vi att du menar så. Dessutom är risken stor att du vänjer dig vid detta skrivsätt, glömmer bort att det bara är ett skrivsätt under "träning" och att du skriver likadant på ett prov, med poängavdrag som följd.

Om du tycker att det är för långt att skriva "Derivatan av sin(2x) är cos(2x)" så kn du istället skriva något i stil med följande:

"Derivator:

• sin(x) ger cos(x)
• 2x ger 2
• sin(2x) ger 2•cos(2x)"

Julialarsson321 skrev:

Är det rätt såhär långt?

Ja, det stämmer så långt.

Hur gör jag sen?

Sätt upp diffekvationen med sitt högerled, samla alla termer på vänster sida och faktorisera ut sin(2x) respektive cos(2x).

Då ser du vad som måste gälla för de två konstanterna A och B för att ekvationen ska vara uppfylld för alla värden på x.

Kan du visa hur? Jag förstår inte riktigt?

16A•sin(2x)-8B•sin(2x)-1•sin(2x)+16B•cos(2x)+8A•cos(2x) = 0

Bryt ut sin(2x) ur de första tre termerna och cos(2x) ur de sista två termerna:

sin(2x)•(16A-8B-1)+cos(2x)•(16B+8A) = 0

Kommer du vidare därifrån?

Nej kan du visa hur jag fortsätter

Eftersom ekvationen ska gälla för alla $x$ kan ju $\sin(2x)$ och $\cos(2x)$ anta olika värden mellan $-1$ och $1$. Vi kan inte lita på deras summa alltid blir 0 i uttrycket.

Däremot kan vi sätta antalet $\sin(x)$ och  $\cos(x)$ till 0. Då blir ju ekvationen uppfylld.

Hur får vi t.ex. 0 st $\sin(2x)$ i uttrycket $(16A-8B-1)\sin(2x)$?

Var det inte 0 st cos 2x som vi önskade?

Tomten skrev:

Var det inte 0 st cos 2x som vi önskade?

Vi önskar 0st sin(2x) och 0 st cos(2x). Vi har efter Yngves försorg fått

(16A-8B-1) st sin(2x) och (16B+8A) st cos(2x) = 0. (Vilket är korrekt)

Jag tror du missar att Yngve valde att flytta över sin(2x) till VL.

Alldeles säkert missade jag det.

Kan du visa snabbt hur du menar? Jag har prov strax om detta och förstår de inte riktigt

Stämmer detta?

Pröva! Du måste lära dig att pröva dina lösningar.

Vet du hur du ska göra det?

Såhär långt är jag med, men jag förstår inte hur jag får fram A och B såhär utan ett ekvationssystem. 

Du har ju redan räknat ut A och B i din partikulärlösning.

Din ansats y_p = Asin(2x)+Bcos(2x) gav dig att A = -1/4 och B = -1/2.

Du undrade om detta stämmer?

Då skrev jag att du själv kan kontrollera om det stämmer och att det är bra att träna upp den förmågan

Det gör du på följande sätt:

Med dessa värden på A ich B så blir din partikulärlösning y_P = -(1/4)sin(2x)-(1/2)cos(2x).

Derivera nu y_p två gånger så att du får y_p' och y_p''.

Sätt sedan in dina y_p, y_p' och y_p'' i den ursprungliga differentialekvationen och kontrollera om det stämmer.

De var fel! De skulle blir 20 och 40 delat med något 

Julialarsson321 skrev:

De var fel! De skulle blir 20 och 40 delat med något 

Vad skulle bli det?

Vi börjar om från ekvationssystemet i svar #49.

(E1 betyder "Ekvation 1" och E2 betyder "Ekvation 2".)

E1: 16A-8B-1 = 0

E2: 8A+16B = 0

Om du nu multiplicerar E2 med 0,5 så får du

E1: 16A-8B-1 = 0

E2: 4A+8B = 0

Om du nu adderar dessa ekvationer ledvis (dvs bildar summan E1+E2) så får du

(16A-8B-1)+(4A+8B) = 0+0

Efter förenkling så ser du att termerna med B tar ut varandra och du får då

20A-1 = 0

Kommer du vidare därifrån?

Jag förstår inte riktigt hur jag ska lösa det, 20A= 1

A= 1/20?

Ja det stämmer.

och B blir 0?

Nej, varför det?

Ekvationssystemet är

E1: 16A-8B-1 = 0

E2: 8A+16B = 0

Du har kommit fram till att A = 1/20

Visa nu steg för steg hur du utifrån det bestämmer värdet av B.

Är detta korrekt?

Din y_P stämmer, men inte din y_h.

Kontrollera din lösning av karakteristiska ekvationen och hur du får fram y_h baserat på den lösningen.

Jag förstår inte hur yh kan vara fel?

Jag har markerat de ställen där det står fel:

Tillägg: 3 jul 2023 10:19

Du kan läsa om hur man tar fram den allmänna lösningen här.