65 svar
794 visningar
Julialarsson321 1463
Postad: 18 jun 2023 22:26

=sin2x

Hur fortsätter jag här? Blir förvirrad när HL endast är sin2x

D4NIEL 2904
Postad: 18 jun 2023 23:46 Redigerad: 18 jun 2023 23:56

En vanlig ansats när man bara har en ensam trigonometrisk funktion i högerledet är att ansätta en linjärkombination av sin- och cosinusfunktioner med samma vinkelfrekvens.

yp=Asin(2x)+Bcos(2x)y_p=A\sin(2x)+B\cos(2x)

Derivera och sätt in i ekvationen samt identifiera koefficienterna AA och BB. Förhoppningsvis kan du hitta värden på AA och BB som gör att ekvationen är uppfylld.

Din homogena lösning ser konstig ut, hur fick du fram den? Jag hade förväntat mig

yh=c1er1x+c2er2xy_h=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}

där rjr_j är de komplexa rötterna till den karaktäristiska ekvationen r2+4r+20=0r^2+4r+20=0

Julialarsson321 1463
Postad: 19 jun 2023 00:27

så jag ska ta pq fomrmlen för r^2+4r+40=0 och r1 och r2 blir homogena lösningen?

Tomten 1832
Postad: 19 jun 2023 08:45

Är du bekant med komplexa tal?

Julialarsson321 1463
Postad: 19 jun 2023 13:22 Redigerad: 19 jun 2023 13:23

Jaa, i menar du va?

Tomten 1832
Postad: 19 jun 2023 15:22

Ja, alla uttryck på formen a+b•i. Du kan använda ”pq-formeln” på din andragradare. Du kommer att få komplexa rötter. Återkom om det kör ihop sig.

Julialarsson321 1463
Postad: 20 jun 2023 05:34

Så?

Laguna 30362
Postad: 20 jun 2023 05:43 Redigerad: 20 jun 2023 05:43

4-20 är inte -18. Det är något som är lättare att ta roten ur, som ofta i sådana här uppgifter.

Roten ur -18 är inte heller samma som roten ur 18i.

 

Julialarsson321 1463
Postad: 20 jun 2023 05:58

16, så de blir 4i? Eller roten ur 4i

Laguna 30362
Postad: 20 jun 2023 06:03

Bestäm dig. Vad är i för något?

Julialarsson321 1463
Postad: 20 jun 2023 06:17

i är ju istället för minus så då blir det roten ur 4i (eftersom de egentligen är totem ur -4)

Laguna 30362
Postad: 20 jun 2023 07:41

i är inte i stället för minus. i är roten ur -1.

Roten ur -4 är i gånger roten ur 4, dvs. 2i.

D4NIEL 2904
Postad: 20 jun 2023 11:31 Redigerad: 20 jun 2023 11:47

Tänk på att yh=C1er1+C2er2y_h=C_1e^{r_1}+C_2e^{r_2} där C1C_1 och C2C_2 är godtyckliga komplexa tal är den allmänna komplexvärda lösningen. Ibland är man bara intresserad av den allmänna reellvärda lösningen.

Den ges av uttrycket

yh=eαxa1cos(βx)+a2sin(βx)y_h=e^{\alpha x}\left(a_1\cos(\beta x)+a_2\sin(\beta x)\right)

Med de komplexa rötterna r12=α±βi    r_{12}=\alpha \pm \beta i\quad\quad där β0\beta \neq 0

I detta uttryck är a1a_1 och a2a_2 godtyckliga rella tal.

Man kan visa att det följer ur substitutionen

a1=C1+C2a_1=C_1+C_2

a2=i(C1-C2)a_2=i(C_1-C_2)

och det faktum att lösningsmängden y(x)y(x) är reell om och endast om a1a_1 och a2a_2 väljs som reella.

Det är är möjligt att er föreläsare inskränker sig till enbart reellvärda lösningar till den reella ekvationen y''+ay'+by=0y^{\prime\prime}+ay^\prime+by=0. Konsultera ditt kursmaterial för att förstå vad som förväntas av dig.

Julialarsson321 1463
Postad: 20 jun 2023 15:30

För partikulördelen, är det Asin2x+Bcos2x som jag ska derivera 2 gånger och sen stoppa in i ekvationen?

Tomten 1832
Postad: 20 jun 2023 16:18

Ja, det är en rimlig ansats och mycket bättre än den första du gjorde med ett polynom. (Ett ändligt polynom kan ju aldrig bli exakt lika med en trig fkn.)

Kör sedan vidare på det sätt du beskriver, för det verkar lovande. Det gäller dock att hålla tungan rätt i mun för här blir det mycket minustecken och inre derivator att hålla reda på.

Julialarsson321 1463
Postad: 20 jun 2023 16:58

är jag på rätt väg här?

Tomten 1832
Postad: 20 jun 2023 17:25

1. Sätt ut x: en i derivatorna korrekt.

2. Du har glömt båda inre derivatorna i y´´ och den inre derivatan i y´ vid "B-sin 2" 

Julialarsson321 1463
Postad: 20 jun 2023 17:30

Kan du visa hur du menar? Blir så förvirrad 

Tomten 1832
Postad: 20 jun 2023 18:15

Titta på din röda text: På y har du satt ut 2x på både sin och cox. Så ska det se ut på derivatorna också. Som det nu står är det bara antydningar och det räcker inte.

Julialarsson321 1463
Postad: 20 jun 2023 19:12

Hur ska jag göra istället?

Yngve Online 40243 – Livehjälpare
Postad: 20 jun 2023 19:25

Det här är en av de saker som fattas.

Sedan fattas även den Inre derivatan

Julialarsson321 1463
Postad: 20 jun 2023 19:40

Såhär?

Julialarsson321 1463
Postad: 20 jun 2023 21:15

Så svaret blir såhär?

Yngve Online 40243 – Livehjälpare
Postad: 20 jun 2023 21:35 Redigerad: 20 jun 2023 21:36

Nej, sinus (2x) är en sammansatt funktion.

Den yttre funktionen är sinus och den inre funktionen är 2x. Samma sak för cos(2x).

Du måste använda kedjeregeln när du deriverar uttrycket.

Julialarsson321 1463
Postad: 20 jun 2023 21:39

Blir kedjeregeln 2x* 1?

tönker att derivatan av x=1

Yngve Online 40243 – Livehjälpare
Postad: 20 jun 2023 23:46

Derivatan av 2x är 2.

Derivatan av sin(2x) är därför cos(2x)•2

Derivatan av A•sin(2x) är därför A•cos(2x)•2, vilket kan skrivas 2A•cos(2x).

Samma sak gäller för derivatan av B•cos(2x)

Julialarsson321 1463
Postad: 21 jun 2023 00:22

Försvinner A och B?

Julialarsson321 1463
Postad: 21 jun 2023 01:27

Såhär?

D4NIEL 2904
Postad: 21 jun 2023 02:02

Ja, jättebra. Nu gäller det att klura ut för vilka värden på AA och BB som differentialekvationen är uppfylld.

Julialarsson321 1463
Postad: 21 jun 2023 02:45

Hur gör jag det?

Yngve Online 40243 – Livehjälpare
Postad: 21 jun 2023 06:16
Julialarsson321 skrev:

Försvinner A och B?

Nej, de finns kvar.

Yngve Online 40243 – Livehjälpare
Postad: 21 jun 2023 06:22
Julialarsson321 skrev:

Såhär?

Ja, men du ska inte skriva likhetstecken när du egentligen menar att derivatan av det ena är det andra. Ett likhetstecken betyder att det som står till vänster är lika med det som står till höger, och så är det ju inte i det här fallet:

Skriv istället det du tänker, nämligen så här:

  • "Derivatan av cos(x) är -sin(x)"
  • "Derivatan av 2x är 2"
  • "Derivatan av sin(2x) är 2•cos(2x)"
Yngve Online 40243 – Livehjälpare
Postad: 21 jun 2023 06:24
Julialarsson321 skrev:

Hur gör jag det?

På samma sätt som i tidigare uppgifter: Sätt in uttrycken för yp, yp' och yp'' i diffekvationen och bestäm A och B så att ekvationen är uppfylld.

Julialarsson321 1463
Postad: 21 jun 2023 06:36

Såhär?

Yngve Online 40243 – Livehjälpare
Postad: 21 jun 2023 07:01 Redigerad: 21 jun 2023 07:06

Jag ser tre problem.

1. Det här stämmer inte. Berätta hur du tänker när du går från den första raden till den andra:

2. Vad menar du med det du skriver på raderna under "använder kedjeregeln"?

Tips: Läs mitt svar #32 igen. Långsamt.

3. Jag får helt andra ekvationer för A och B än de du får fram efter "Förenklar". Visa steg för steg hur du kommer fram till dina.

Julialarsson321 1463
Postad: 21 jun 2023 07:04

1. Roten ur 16 är 4. Det är -16 så det blir 4i och sen sätter jag i framför roten ur

Julialarsson321 1463
Postad: 21 jun 2023 07:06

2. Förstår, gjorde endast så nu när jag tränar inför prov för att de skulle bli så långt annars. Men derivatorna stämmer väl?

Yngve Online 40243 – Livehjälpare
Postad: 21 jun 2023 07:09 Redigerad: 21 jun 2023 07:10
Julialarsson321 skrev:

1. Roten ur 16 är 4. Det är -16 så det blir 4i och sen sätter jag i framför roten ur

Jag tror att du tar för stora tankesteg i huvudet. Är du med på att -16=(-1)·16=i2·16=i2·16\sqrt{-16}=\sqrt{(-1)\cdot16}=\sqrt{i^2\cdot16}=\sqrt{i^2}\cdot\sqrt{16}?

Om ja, fortsätt därifrån. 

Julialarsson321 1463
Postad: 21 jun 2023 07:14

Är det rätt såhär långt?

Yngve Online 40243 – Livehjälpare
Postad: 21 jun 2023 07:26 Redigerad: 21 jun 2023 07:27
Julialarsson321 skrev:

2. Förstår, gjorde endast så nu när jag tränar inför prov för att de skulle bli så långt annars. Men derivatorna stämmer väl?

Om du skriver så så tror vi att du menar så. Dessutom är risken stor att du vänjer dig vid detta skrivsätt, glömmer bort att det bara är ett skrivsätt under "träning" och att du skriver likadant på ett prov, med poängavdrag som följd.

Om du tycker att det är för långt att skriva "Derivatan av sin(2x) är cos(2x)" så kn du istället skriva något i stil med följande:

"Derivator:

  • sin(x) ger cos(x)
  • 2x ger 2
  • sin(2x) ger 2•cos(2x)"
Yngve Online 40243 – Livehjälpare
Postad: 21 jun 2023 07:30
Julialarsson321 skrev:

Är det rätt såhär långt?

Ja, det stämmer så långt.

Julialarsson321 1463
Postad: 21 jun 2023 07:30

Hur gör jag sen?

Yngve Online 40243 – Livehjälpare
Postad: 21 jun 2023 07:36

Sätt upp diffekvationen med sitt högerled, samla alla termer på vänster sida och faktorisera ut sin(2x) respektive cos(2x).

Då ser du vad som måste gälla för de två konstanterna A och B för att ekvationen ska vara uppfylld för alla värden på x.

Julialarsson321 1463
Postad: 21 jun 2023 07:40

Kan du visa hur? Jag förstår inte riktigt?

Yngve Online 40243 – Livehjälpare
Postad: 21 jun 2023 07:51

16A•sin(2x)-8B•sin(2x)-1•sin(2x)+16B•cos(2x)+8A•cos(2x) = 0

Bryt ut sin(2x) ur de första tre termerna och cos(2x) ur de sista två termerna:

sin(2x)•(16A-8B-1)+cos(2x)•(16B+8A) = 0

Kommer du vidare därifrån?

Julialarsson321 1463
Postad: 21 jun 2023 11:13

Nej kan du visa hur jag fortsätter

D4NIEL 2904
Postad: 21 jun 2023 11:33 Redigerad: 21 jun 2023 11:54

Eftersom ekvationen ska gälla för alla xx kan ju sin(2x)\sin(2x) och cos(2x)\cos(2x) anta olika värden mellan -1-1 och 11. Vi kan inte lita på deras summa alltid blir 0 i uttrycket.

Däremot kan vi sätta antalet sin(x)\sin(x) och  cos(x)\cos(x) till 0. Då blir ju ekvationen uppfylld.

Hur får vi t.ex. 0 st sin(2x)\sin(2x) i uttrycket (16A-8B-1)sin(2x)(16A-8B-1)\sin(2x)?

Tomten 1832
Postad: 21 jun 2023 11:37

Var det inte 0 st cos 2x som vi önskade?

D4NIEL 2904
Postad: 21 jun 2023 11:41 Redigerad: 21 jun 2023 11:43
Tomten skrev:

Var det inte 0 st cos 2x som vi önskade?

Vi önskar 0st sin(2x) och 0 st cos(2x). Vi har efter Yngves försorg fått

(16A-8B-1) st sin(2x) och (16B+8A) st cos(2x) = 0. (Vilket är korrekt)

Jag tror du missar att Yngve valde att flytta över sin(2x) till VL.

Tomten 1832
Postad: 21 jun 2023 11:48

Alldeles säkert missade jag det.

Julialarsson321 1463
Postad: 21 jun 2023 15:16

Kan du visa snabbt hur du menar? Jag har prov strax om detta och förstår de inte riktigt

Julialarsson321 1463
Postad: 21 jun 2023 16:17

Stämmer detta?

Yngve Online 40243 – Livehjälpare
Postad: 21 jun 2023 17:02 Redigerad: 21 jun 2023 17:02

Pröva! Du måste lära dig att pröva dina lösningar.

Vet du hur du ska göra det?

Julialarsson321 1463
Postad: 2 jul 2023 05:35

Såhär långt är jag med, men jag förstår inte hur jag får fram A och B såhär utan ett ekvationssystem. 

Yngve Online 40243 – Livehjälpare
Postad: 2 jul 2023 10:16 Redigerad: 2 jul 2023 10:43

Du har ju redan räknat ut A och B i din partikulärlösning.

Din ansats yp = Asin(2x)+Bcos(2x) gav dig att A = -1/4 och B = -1/2.

Du undrade om detta stämmer?

Då skrev jag att du själv kan kontrollera om det stämmer och att det är bra att träna upp den förmågan

Det gör du på följande sätt:

Med dessa värden på A ich B så blir din partikulärlösning yP = -(1/4)sin(2x)-(1/2)cos(2x).

Derivera nu yp två gånger så att du får yp' och yp''.

Sätt sedan in dina yp, yp' och yp'' i den ursprungliga differentialekvationen och kontrollera om det stämmer.

Julialarsson321 1463
Postad: 2 jul 2023 13:01

De var fel! De skulle blir 20 och 40 delat med något 

Julialarsson321 skrev:

De var fel! De skulle blir 20 och 40 delat med något 

Vad skulle bli det?

Yngve Online 40243 – Livehjälpare
Postad: 2 jul 2023 18:10 Redigerad: 2 jul 2023 18:17

Vi börjar om från ekvationssystemet i svar #49.

(E1 betyder "Ekvation 1" och E2 betyder "Ekvation 2".)

E1: 16A-8B-1 = 0

E2: 8A+16B = 0

Om du nu multiplicerar E2 med 0,5 så får du

E1: 16A-8B-1 = 0

E2: 4A+8B = 0

Om du nu adderar dessa ekvationer ledvis (dvs bildar summan E1+E2) så får du

(16A-8B-1)+(4A+8B) = 0+0

Efter förenkling så ser du att termerna med B tar ut varandra och du får då

20A-1 = 0

Kommer du vidare därifrån?

Julialarsson321 1463
Postad: 2 jul 2023 18:17

Jag förstår inte riktigt hur jag ska lösa det, 20A= 1

A= 1/20?

Ja det stämmer.

Julialarsson321 1463
Postad: 2 jul 2023 18:24

och B blir 0?

Nej, varför det?

Ekvationssystemet är

E1: 16A-8B-1 = 0

E2: 8A+16B = 0

Du har kommit fram till att A = 1/20

Visa nu steg för steg hur du utifrån det bestämmer värdet av B.

Julialarsson321 1463
Postad: 2 jul 2023 20:57

Är detta korrekt?

Yngve Online 40243 – Livehjälpare
Postad: 3 jul 2023 08:41 Redigerad: 3 jul 2023 08:44

Din yP stämmer, men inte din yh.

Kontrollera din lösning av karakteristiska ekvationen och hur du får fram yh baserat på den lösningen.

Julialarsson321 1463
Postad: 3 jul 2023 08:47

Jag förstår inte hur yh kan vara fel?

Yngve Online 40243 – Livehjälpare
Postad: 3 jul 2023 10:11 Redigerad: 3 jul 2023 10:42

Jag har markerat de ställen där det står fel:


Tillägg: 3 jul 2023 10:19

Du kan läsa om hur man tar fram den allmänna lösningen här.

Svara
Close