Sin x + Cos x = a. Bestäm..

Prova att dels kvadrera den första formeln, dels multiplicera den med den andra. 

Laguna skrev:

Prova att dels kvadrera den första formeln, dels multiplicera den med den andra. 

Kan du utveckla hur du tänker?

Schwed skrev:

Laguna skrev:

Prova att dels kvadrera den första formeln, dels multiplicera den med den andra. 

Kan du utveckla hur du tänker?

Visa hur det blir, så ska vi se hur man kommer vidare. 

Rekommenderar tredje formeln här:

https://www.formelsamlingen.se/alla-amnen/matematik/algebra/tredjegradsbinom

Kan man få ett uttryck för $\sin x\cos x$ är man ”hemma”.

Laguna skrev: Visa hur det blir, så ska vi se hur man kommer vidare. 

Jag kvadrerar första formeln; 

(sinx + cosx)²=a²

Utvecklar;

sin²x+cos²x+2sinxcosx=a²

Förenklar;

2sinxcosx=a²-1

sinxcosx=(a²-1)/2

Multiplicerar med andra formeln; 

sinxcosx * (sin²x+cos²x) = ((a²-1)/2) * 1

Därefter försöker jag utveckla och förenkla vänsterled och allt blir huller om buller. 

Går jag i rätt spår? 

Jag hoppas du inte tappar hoppet om mig, skulle gärna vilja förstå mig på detta problem så jag uppskattar verkligen din hjälp. 

Mvh

tomast80 skrev:

Rekommenderar tredje formeln här:

https://www.formelsamlingen.se/alla-amnen/matematik/algebra/tredjegradsbinom

Kan man få ett uttryck för $\sin x\cos x$ är man ”hemma”.

Vad menar du med "Kan man få ett uttryck för sinxcosx  är man hemma"?

Mvh

Schwed skrev:

Laguna skrev: Visa hur det blir, så ska vi se hur man kommer vidare. 

Jag kvadrerar första formeln; 

(sinx + cosx)²=a²

Utvecklar;

sin²x+cos²x+2sinxcosx=a²

Förenklar;

2sinxcosx=a²-1

sinxcosx=(a²-1)/2

Multiplicerar med andra formeln; 

sinxcosx * (sin²x+cos²x) = ((a²-1)/2) * 1

Därefter försöker jag utveckla och förenkla vänsterled och allt blir huller om buller. 

Går jag i rätt spår? 

 

Jag hoppas du inte tappar hoppet om mig, skulle gärna vilja förstå mig på detta problem så jag uppskattar verkligen din hjälp. 

Mvh

Kvadreringen ser ut att ha gett ett användbart resultat. Sedan tänkte jag att du utvecklar  $(\sin x+\cos x)(\sin^2x + \cos^2x)$ utan att bry dig om att den senare faktorn är lika med 1.

Schwed skrev:

tomast80 skrev:

Rekommenderar tredje formeln här:

https://www.formelsamlingen.se/alla-amnen/matematik/algebra/tredjegradsbinom

Kan man få ett uttryck för $\sin x\cos x$ är man ”hemma”.

Vad menar du med "Kan man få ett uttryck för sinxcosx  är man hemma"?

Mvh

Vilka termer är kända i uttrycket:

$\sin^3x+\cos^3x=$

$(\sin x+\cos x)(\sin^2x-\sin x\cos x+\cos^2x)$ ?

Laguna skrev: Kvadreringen ser ut att ha gett ett användbart resultat. Sedan tänkte jag att du utvecklar  $(\sin x+\cos x)(\sin^2x + \cos^2x)$ utan att bry dig om att den senare faktorn är lika med 1.

Då tror jag att jag har löst uppgiften, såhär gjorde jag. 

$(\sin x+\cos x)²=a²$

Utvecklar vänsterled;

$\sin ²x+2\sin x\cos x+\cos ²x=a²$

$(\sin ²x+\cos ²x)=a²-2\sin x\cos x$

Förlänger båda leden med (sinx+cosx) och därefter utvecklar;

$(\sin x+\cos x)\times (\sin ²x+\cos ²x)=(\sin x+\cos x)\times (a²-2\sin x\cos x)$

$\sin ³x+\sin x\cos ²x+\sin ²x\cos x+\cos ³x=a²\sin x-2\sin ²x\cos x+a²\cos x-2\sin x\cos ²x$

$\sin ³x+\cos ³x=a²\sin x+a²\cos x-3\sin ²x\cos x-3\sin x\cos ²x$

Sedan vill jag gärna förenkla högerled och det gör jag med hjälp av trigettan;

$\sin ³x+\cos ³x=a²(\sin x+\cos x)-3(1-\cos ²x)\times \cos x-3\sin x\times (1-\sin ²x)$

$$\begin{gathered} \sin ³x+\cos ³x=a³-(3\cos x-3\cos ³x)-(3\sin x-3\sin ³x) \\ \sin ³x+\cos ³x=a³-3\cos x+3\cos ³x-3\sin x+3\sin ³x \\ a³-3\cos x+2\cos ³x-3\sin x+2\sin ³x=0 \\ a³+2\cos ³x+2\sin ³x=3\cos x+3\sin x \\ a³+2\sin ³x+2\cos ³x=3(\sin x+\cos x) \\ a³+2\sin ³x+2\cos ³x=3\times a \\ 2(\sin ³x+\cos ³x)=3a-a³ \end{gathered}$$

och slutligen 

$\sin ³x+\cos ³x=\frac{a(3-a²)}{2}$

Har jag kommit fram till svaret på ett godkänt sätt? Jag hoppas det är tydligt nog att följa med vad jag gör. 

Mvh

När du gör sådana här uppgifter så behöver du utgå från VL och komma fram till HL. Nu har du börjat lite i mitten. I detta fall börja med:

VL = sin³x+cos³x = ... = a(3−a²)/2

VL = HL VSV

Och det kan du få till om du flyttar om lite i din lösning. Är du med?

Alternativ lösning:

$\sin x+\cos x=a$

$(\sin x+\cos x)^2=$

$\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x=a^2\Rightarrow$

$\sin x\cos x=\frac{a^2-1}{2}$

$\sin^3x+\cos^3x=$

$(\sin x+\cos x)(\sin^2x-\sin x\cos x+\cos^2x)=$

$a\cdot (1-\frac{a^2-1}{2})=$

$\frac{a(3-a^2)}{2}$

tomast80 skrev:

Alternativ lösning:

$\sin x+\cos x=a$

$(\sin x+\cos x)^2=$

$\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x=a^2\Rightarrow$

$\sin x\cos x=\frac{a^2-1}{2}$

$\sin^3x+\cos^3x=$

$(\sin x+\cos x)(\sin^2x-\sin x\cos x+\cos^2x)=$

$a\cdot (1-\frac{a^2-1}{2})=$

$\frac{a(3-a^2)}{2}$

Nu när jag ser din lösning så ser jag exakt vad du har försökt att poängtera ut för mig i tidigare svar, och när jag tidigare försökte lösa uppgiften så fastnade jag alltid på steg 4 där jag har sinxcosx i ena ledet och inte hade en susning vad jag skulle göra efter det.  Jag blev påminnd att jag bör ta en titt i formelsamlingen igen då det var väldigt länge sedan jag såg Tredjegradsbinomen. 

Tack för  hjälpen, mycket uppskattat!