Sin och cos kurvor
hej! Jag har ett problem jag inte riktigt förstår. Jag ska rita grafer till y= sinx och y=cosx, jag vet att graferna ska vara identiska baserat på Asinkx resp Acoskx men jag förstår inte varför cos ska vara förskjuten 90 grader. Jag skulle verkligen behöva en pedagogisk förklaring på det här, för borde de inte vara likaställda?
fridab92 skrev :hej! Jag har ett problem jag inte riktigt förstår. Jag ska rita grafer till y= sinx och y=cosx, jag vet att graferna ska vara identiska baserat på Asinkx resp Acoskx men jag förstår inte varför cos ska vara förskjuten 90 grader. Jag skulle verkligen behöva en pedagogisk förklaring på det här, för borde de inte vara likaställda?
Eftersom det i allnänhet inte gäller stt sin(x) = cos(x) så ska inte heller graferna sammanfalla.
Du kan till exenpel jämföra detta med graferna till y = x + 1 och y = x + 3. Även dessa två grafer har samma form men de sammanfaller inte heller.
Om du känner till enhetscirkeln så är det ganska lätt att se hur graferna till sin(v) och cos(v) hänger ihop och hur de är förskjutna i förhållande till varandra. Om du inte känner till den så bör du absolut lära dig hur den fungerar. Den är ett ovärderligt hjälpmedel inom trigonometrin.
-------------
Rita enhetscirkeln.
Tänk dig nu att du har två "visare" A och B som båda har längden 1 och utgår från origo.
Tänk dig nu att visare A pekar rakt åt höger och att visare B pekar rakt upp.
Visarna är alltså vinkelräta mot varandra.
Tänk dig vidare att dessa visare kan vrida sig moturs men att de alltid är vinkelräta mot varandra. Om vi mäter vinkeln v som den första visaren bildar mot den positiva x-axeln så bildar alltså den andra visaren vinkeln v + 90° mot den positiva x-axeln.
Nu är det så att när visare A pekar i riktningen 0° (dvs rakt åt höger) så hamnar spetsen på punkten (1, 0), dvs x-koordinaten 1. Detta motsvarar att cos(0) = 1.
Samtidigt så pekar visare B i riktningen 90° (dvs rakt upp) och dess spets hamnar på punkten (0, 1), dvs y-koordinaten 1. Detta motsvarar att sin(90°) = 1.
Här gäller alltså att cos(0°) = sin(0° + 90°).
-------------------------------
Om vi nu vrider dessa visare medurs så kommer x-koordinaten för A-visaren att minska från 1 ner mot 0. Samtidigt så minskar y-koordinaten för B-visaren från 1 ner mot 0.
Det som är viktigt nu är att x-koordinaten för A-visaren ändras i samma takt som y-koordinaten för B-visaren.
När A-visaren har vridits 90° medurs och pekar rakt uppåt så har även B-visaren vridits 90° medurs och pekar nu rakt åt vänster.
x-koordinaten för A-visaren är nu 0. Detta motsvarar att cos(90°) = 0.
y-koordinaten för B-visaren är nu 0. Detta motsvarar att sin(90° + 90°) = sin(180) = 0.
-----------------------------
Och så vidare. Om man inser att A-visarens x-koordinat alltid är detsamma som B-visarens y-koordinat så inser man även att sambandet cos(v) = sin(v+90°) alltid gäller. Se bild nedan.
-----------------------------
Om detta är svårt att förstå så kan du tänka dig att du först tittar på de två visarna och sedan lägger huvudet på sned åt vänster alternativt vrider på din enhetscirkel 90° åt höger.
Då ser du att B-visaren gör exakt samma resa över enhetscirkeln som A-visaren, bara 90° "i förväg".
----------------
Jag hoppas att det blev lite klarare nu?
