sin(5täta)=p(sintäta)

Använd Eulers formel: $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$. Om du höjer båda led till 5 får du:

$(e^{i\theta})^5 = (\cos(\theta) + i\sin(\theta))^5 \\ e^{i5\theta} = (\cos(\theta) + i\sin(\theta))^5 \\ \cos(5\theta) + i\sin(5\theta) = (\cos(\theta) + i\sin(\theta))^5$

Nu kan du utveckla högerledet med binomialsatsen, och sen likställa imaginärdelarna av vänster- och högerled för att få en formel för sin(5𝜃). 

Skaft skrev:

Använd Eulers formel: $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$. Om du höjer båda led till 5 får du:

$(e^{i\theta})^5 = (\cos(\theta) + i\sin(\theta))^5 \\ e^{i5\theta} = (\cos(\theta) + i\sin(\theta))^5 \\ \cos(5\theta) + i\sin(5\theta) = (\cos(\theta) + i\sin(\theta))^5$

Nu kan du utveckla högerledet med binomialsatsen, och sen likställa imaginärdelarna av vänster- och högerled för att få en formel för sin(5𝜃). 

får då $\sin \left(5\theta \right)=5\cos \theta \sin \theta -10{\cos }^2\theta {\sin }^3\theta +{\sin }^5\theta$??

lamayo skrev:

Skaft skrev:

Använd Eulers formel: $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$. Om du höjer båda led till 5 får du:

$(e^{i\theta})^5 = (\cos(\theta) + i\sin(\theta))^5 \\ e^{i5\theta} = (\cos(\theta) + i\sin(\theta))^5 \\ \cos(5\theta) + i\sin(5\theta) = (\cos(\theta) + i\sin(\theta))^5$

Nu kan du utveckla högerledet med binomialsatsen, och sen likställa imaginärdelarna av vänster- och högerled för att få en formel för sin(5𝜃). 

får då $\sin \left(5\theta \right)=5\cos \theta \sin \theta -10{\cos }^2\theta {\sin }^3\theta +{\sin }^5\theta$??

Prova om det stämmer! Sätt in θ= 0, π/2 och några andra värden. Jag har inte kollat, så det kan vara rätt! 

Saknas en exponent där, enligt binomialsatsen borde summan av exponenterna bli samma i varje term.

Notera också att de vill ha ett polynom i $\sin(\theta)$. Du behöver alltså byta bort cosinus.

Skaft skrev:

Saknas en exponent där, enligt binomialsatsen borde summan av exponenterna bli samma i varje term.

Notera också att de vill ha ett polynom i $\sin(\theta)$. Du behöver alltså byta bort cosinus.

det ska vara cos(täta)^4 på första termen, stämmer det då?

Sedan vet jag inte hur jag ska byta bort cosinus hittar inte några formler som passar bra in, möjligtvis typ om det går bra att använda trigonometriska ettan?

Trig. ettan ger $\sin \left(5\theta \right)=5{(1-\sin 2\left(\theta \right))}^2\sin \left(\theta \right)-10(1-{\sin }^2\left(\theta \right)){\sin }^3\left(\theta \right)+{\sin }^5\left(\theta \right)$och förenklar man HL fås $5\sin \theta -20{\sin }^3\theta +16{\sin }^5\theta$

då skulle polynomet vara 5x-20x^3+16x^5

Det ser inte orimligt ut. Som Erik föreslog, prova några vinklar och avgör själv om du vågar "tro" på ditt polynom!

Skaft skrev:

Det ser inte orimligt ut. Som Erik föreslog, prova några vinklar och avgör själv om du vågar "tro" på ditt polynom!

Verkar stämma tror jag. Hur kan jag göra på b), ska jag bara sätta in vinkeln i polynomet?

Ja, nu har du en likhet att utgå ifrån. Om du sätter in $\pi/5$ så säger din likhet att

$\sin(5 \cdot \frac{\pi}{5}) = 16\sin^5(\frac{\pi}{5}) - 20 \sin^3(\frac{\pi}{5}) + 5\sin(\frac{\pi}{5})$

Du vill bestämma $\sin(\frac{\pi}{5})$, vilket du alltså kan behandla som ett x i ekvationen ovan och lösa ut.

Skaft skrev:

Ja, nu har du en likhet att utgå ifrån. Om du sätter in $\pi/5$ så säger din likhet att

$\sin(5 \cdot \frac{\pi}{5}) = 16\sin^5(\frac{\pi}{5}) - 20 \sin^3(\frac{\pi}{5}) + 5\sin(\frac{\pi}{5})$

Du vill bestämma $\sin(\frac{\pi}{5})$, vilket du alltså kan behandla som ett x i ekvationen ovan och lösa ut.

Det blev $\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{5}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}}$, vilket stämde. Tack så mkt för hjälpen!! :D