Simpel volymuppgift i tre dimensioner

Det blir en ellips.

Dr. G skrev :

Det blir en ellips.

Jag tänker mig en parabel i xz- planet och en uppochnervänd paraboloid i rummet. Är det fel?

Villkoren ger dig ett område inneslutet av en ellips i xy-planet. I z-led begränsas volymen av "taket" $z=2-x^2-y^2$ och "golvet" $z=x^2$

Låt $f(x,y)=2-x^2-y^2-x^2=2-2x^2-y^2$ och integrera $f(x,y)$ över ellipsens yta. Använd elliptiska koordinater.

Guggle skrev :

Villkoren ger dig ett område inneslutet av en ellips i xy-planet. I z-led begränsas volymen av "taket" $z=2-x^2-y^2$ och "golvet" $z=x^2$

Låt $f(x,y)=2-x^2-y^2-x^2=2-2x^2-y^2$ och integrera $f(x,y)$ över ellipsens yta. Använd elliptiska koordinater.

hur vet du vad som är tak och vad som är golv? jag kan inte se kroppen i mitt huvud

Det jag tror skapar lite problem för dig är ytan z=x².

Att visualisera ytor kan vara lite krångligt första gången man behöver göra det. Men låt dig inte avskräckas. Snabbare än du tror kommer du vänja dig vid att se de olika ytorna.

Om vi börjar med z=x² är det en alltså en parabel i xz-planet:

Den är alltså symmetrisk kring x=0 och antar värdet 0 utmed hela y-axeln. Oavsett vad y är blir "höjden" alltid x². Om vi nu roterar axlarna lite ser vi ytan mer tydligt:

Om vi kombinerar det med ytan z=2-x²-y², som du verkar ha grepp om, får vi:

Notera att ytan z=2-x²-y² antar värdet 2 runt origo och att ytan z=x² antar värdet 0. Alltså måste den första ytan ligga "ovanför" och bilda ett "tak" över den andra i en omgivning runt origo. Det borde också gå att uttyda i figuren ovan. Skärningen mellan ytorna bildar en ellips i xy-planet (sätt 2-x²-y²=x²).