Silo

En bonde skall bygga en silo för förvaring där volymen kommer vara 400 $m^{3}$ . Formen är en rak stående cirkulär cylinder med plan botten och med ett halvklot som tak. Bestäm silons höjd och diameter så att materialåtgången blir så liten som möjligt.

Jag tänger på följande sätt:

Jag behöver räkna ut volymen i kubik genom formeln: 2 $πrh$ +2 ${πr}^{2}$ , som jag kan förenkla till 2 $πr (h + r)$ .

Sedan behöver jag beräkna med halvkloten med formeln: $\frac{\frac{4 \times π \times r^{3}}{3}}{2}$

Kan jag sätta dessa efter varandra som termer med + emellan och lösa ut med =400 $m^{3}$

Tänker jag rätt då?

Nja, ditt uttryck för cylindern ger ytarean, inte volymen.

Det finns förövrigt redan en tråd om exakt denna uppgift:

https://www.pluggakuten.se/trad/derivata-355/

Varför delar jag halvklotet med 6 och inte enligt uppställningen jag gjorde?

Ja just ja, volymen skall vara: ${πr}^{2} h$ . Övertänkte lite där!

Kalla radien r och höjden h

$r^{2} \cdot π \cdot h$ kommer vara cylinders volym och halvklotet kommer ha volym $\frac{4 {πr}^{3}}{6}$ , hela silon är 400cm3 alltså

$r^{2} h π + \frac{2 r^{3} π}{3} = 400$ (som AlvinB skrev i andra tråden) materialet är mantelarean, silon har mantel area $2 r π \cdot h$ och halvklotet har mantelarea är $\frac{4 {πr}^{2}}{2} = 2 {πr}^{2}$ och botten arean är $r^{2} π$ alltså kommer allt material vara $2 πrh + 3 {πr}^{3}$

Ur uttrycket för Volymen kan vi få $h = \frac{1200 - 2 r^{3} π}{3 r^{2} π}$ vi kan substituera detta in i ekvationen för mantel arean och sedan bestäma denna funktions mini punkt för att få höjden då material kostnaden är som minst

$2 πr \frac{1200 - 2 {πr}^{3}}{3 {πr}^{2}} + 3 {πr}^{2} = \frac{2400 - 4 π r^{3}}{3 r} + 3 π r^{2} = \frac{800}{r} - \frac{4 π r^{2}}{3} + 3 π r^{2}$ derivera denna fuktion och sätt den som noll

$- \frac{800}{r^{2}} - \frac{8 π r}{3} + 6 π r = 0 \Leftrightarrow - \frac{800}{r^{2}} - \frac{8 πr}{3} + \frac{18 h r}{3} = \frac{10 πr}{3} - \frac{800}{r^{2}} = 0 \frac{10 {πr}^{3}}{3} = 800 \Leftrightarrow r^{3} = \frac{240}{π} \Leftrightarrow r = \frac{2 \sqrt[3]{30}}{\sqrt[3]{π}}$

Genom att dervivera igen eller bara titta på grafen kan vi komma fram till att detta är en mini punkt, nu när vi har radiens värde för minst material kan vi lätt hitta höjden genom att sätta in radien i ekvationen $r^{2} h π + \frac{2 r^{3} π}{3} = 400$

Denna tråd (https://www.pluggakuten.se/trad/vilka-dimensioner-hos-tomten-ger-sa-lag-kostnad-som-mojligt-for-avskarmningen/) handlar om ett problem som använder exakt samma metod för att lösa problemet, fast lite mindre komplicerat kolla in den ifall du inte fattar varför jag gör som jag gör.

Svara

Visa senaste svar