Sidoklasser, abstrakt algebra
Jag har en fråga angående sidoklasser. Om vi har en grupp G och en undergrupp H och x + H och y + H är två sidoklasser så måste ju x-y tillhöra H. Men varför? Det är säkert supersimpel logik men jag kan inte lyckas få till det i huvudet.
Abstrakt algebra är inte min bästa gren (om det finns någon) men jag tänker väldigt enkelt:
Ta heltalen modulo 10 (dvs alla tal bestäms av sista siffran) som bildar en grupp G med avs på addition.
En undergrupp H är då alla tal som slutar på en nolla.
Alla tal som slutar på 7 är en sidoklass och alla som slutar på 2 är en annan sidoklass (eller?).
Men 7–2 tillhör varken H eller någon av de nämnda sidoklasserna.
Däremot, tar du x och y i Samma sidoklass, säg 57 och 37, så tillhör 57–37 H.
Vi kan också göra det med mängdlära. Sidoklassen x+H består av de element som kan skrivas x+h1 och y+H består av de som kan skrivas y+h2 där h1 och h2 tillhör H medan x, y får vara fixa men godtyckliga i G. Subtraherar vi får vi x-y+ h1-h2 Eftersom H är en undergrupp måste h1-h2 tillhöra H till skillnad från elementet x-y.
Tack till båda! Nu klarnade det lite.
Tomten skrev:Vi kan också göra det med mängdlära. Sidoklassen x+H består av de element som kan skrivas x+h1 och y+H består av de som kan skrivas y+h2 där h1 och h2 tillhör H medan x, y får vara fixa men godtyckliga i G. Subtraherar vi får vi x-y+ h1-h2 Eftersom H är en undergrupp måste h1-h2 tillhöra H till skillnad från elementet x-y.
Men Tomten, i och för sig instämmer jag med englar, det klarnade litet för mig också. Men egentligen, vi skulle ju avgöra om x–y tillhörde H, men du avslutar ju bara med att x–y inte tillhör H som att det vore så självklart att det inte behöver visas. Eller?
Eftersom x och y bara är element i G, kan vi inte förutsätta att de också ligger i H. Därmed är vi inte garanterade att x-y tillhör H. Men visst KAN x-y ligga där. Det är som att påstå att en rotekvation alltid har två reella rötter. Den kan ha det men måste inte.
Jag tror att det var jag som formulerade min fråga fel, jag menade att om x + H och y + H är samma sidoklass som måste x-y tillhöra H. Så det är där missförståndet ligger.
Tomten skrev:Eftersom x och y bara är element i G, kan vi inte förutsätta att de också ligger i H. Därmed är vi inte garanterade att x-y tillhör H. Men visst KAN x-y ligga där. Det är som att påstå att en rotekvation alltid har två reella rötter. Den kan ha det men måste inte.
Självklart, jag var otydlig. Men i din lösning skriver du ”Eftersom H är en undergrupp måste h1-h2 tillhöra H till skillnad från elementet x-y.”
Men det var ju om x–y måste tillhöra H som var frågan (dvs den ursprungliga frågan).
Det är ordet ”måste” som är kärnan i det jag påstår. x-y MÅSTE alltså inte tillhöra H.
Vi är överens. Det var det som var frågan. Men det visade du inte. Mängdperspektivet var bra, för det gav en bild av läget. Men Varför inte x–y behöver tillhöra H framgick inte.
