SGF

Hej!

Uppgiften lyder:

Mitt försök:

SGF(a, bc) * MGM(a, bc) = abc

SGF(a, b) * MGM(a, b) = ab => MGM(a, b) = ab

SGF(a, c) * MGM(a, c) = ac => MGM(a, c) =ac

Av dessa beräkningar får jag även att:

bc = c^(2)*(MGM(a, b)/MGM(a, c))

Kan jag få tips på vad jag ska göra nu för att visa att SGF(a, bc) = 1??

Den vägen ger ingenting. Du måste använda satsen om unik primfaktorisering eller satsen att primtalet p delar bc endast om p delar b eller p delar c.

Henrik Eriksson skrev :
Den vägen ger ingenting. Du måste använda satsen om unik primfaktorisering eller satsen att primtalet p delar bc endast om p delar b eller p delar c.

men dessa satser har vi aldrig gått igenom (och står inte i boken)?

Jag tror inte du behöver blanda in MGM öht.

Skriv primtalsfaktoriseringen av a så här:

$a = p_{1} p_{2} p_{3} . . . p_{n}$

gör sedan likadant för b och c.

Att SGF = 1 betyder inga av primtalen i a:s faktorisering är samma som primtalen i b:s eller c:s (förstår du varför?).

Sedan kan du skriva bc som produkten av primtalsfaktoriseringarna och då ser manatt det inte finns några gemensamma primtal med a.

Jag såg Henriks svar nu och han påpekade en sak som jag glömde, men som jag också tror är överkurs på gymnasiet.

OM det skulle vara så att det skulle gå att primtalsfaktorisera ett tal på mer än ett sätt skulle mitt bevis inte funka. Ett fullständigt bevis måste därför innehålla påpekandet att det bara går att primtalsfaktorisera på ett sätt. Att det är så kan man bevisa, men det beviset är absolut överkurs på gymnasiet.

Det beviset stöder sej på att primfaktoriseringen är unik, något som är svårt att bevisa.

SvanteR skrev :
Jag tror inte du behöver blanda in MGM öht.
Skriv primtalsfaktoriseringen av a så här:
$a = p_{1} p_{2} p_{3} . . . p_{n}$

En sak som jag inte förstår är: hur kan man skriva a som flera primtalsfaktorer om a kanske består av endast en primtalsfaktor (om den är en faktor). Hur tar formeln för a hänsyn till det?

gör sedan likadant för b och c.
Att SGF = 1 betyder inga av primtalen i a:s faktorisering är samma som primtalen i b:s eller c:s (förstår du varför?).
Sedan kan du skriva bc som produkten av primtalsfaktoriseringarna och då ser manatt det inte finns några gemensamma primtal med a.

Menar du såhär?:

$b = m_{1} m_{2} m_{3} . . . m_{n}$

$c = n_{1} n_{2} n_{3} . . . n_{n}$

och

$b c = m_{1} m_{2} m_{3} . . . m_{n} \cdot n_{1} n_{2} n_{3} . . . n_{n}$

där m och n är skiljt från p (då dessa primtalsfaktorer har ingenting gemensamt enligt SGF(a, b) = 1 och SGF(a, c) = 1)?

Henrik Eriksson skrev :
Den vägen ger ingenting. Du måste använda satsen om unik primfaktorisering eller satsen att primtalet p delar bc endast om p delar b eller p delar c.

Varför ger inte saker jag har lärt mig från boken (det jag har redovisat i mitt första inlägg) någonting? Finns det verkligen inget sätt att lösa uppgiften med det jag har börjat med? (Det är alltid lättare att förstå lösningar som man har påbörjat än nya som man alddrig har hört talas om, särskilt om man inte vet varför just dessa sätt ger rätt svar?)

Nej, jag tror inte att det finns något sätt att lösa uppgiften med hjälp av det du började på. Men står det inte någonstans i boken att ett tal kan delas upp i primfaktorer på endast ett sätt? Alltså att 11*29 aldrig kan vara lika med 13*23 för att ta ett exempel.

Om det står är det det du kan använda till ett bevis.

Svara

Visa senaste svar