Sfäriska skal med potential

Ett sfäriskt skal av koppas med radie a har potentialen V0. Bestäm potentialen V(r) överallt. Det är vakuum innanför skalet och ett dielektrika ε = εrε0 utanför. Tjockleken på skalet kan försummas

Det står ingenting om någon laddning/laddningsdensitet alls. Därför antar jag att vi kan använda Laplace ekvation.

$\nabla^{2} V = 0, A l l t s k e r i r a d i e l l r i k t n i n g . = > \frac{1}{r^{2}} \frac{d}{d r} (r^{2} (\frac{d V}{d r})) = 0, t y s f ä r i s k g e o m e t r i . = > v (r) = - \frac{c_{1}}{r} + c_{2} N u a n t a r j a g a t t d e t t a b l i r v å r a R V : V (a) = v 0 & v (r - > i n f) = 0 V (R - > i n f) = 0 = > c_{2} = 0 v (a) = v 0 g e r : v_{0} = - \frac{c_{1}}{a} < = > c_{1} = - v_{0} a = > v (r) = \frac{v_{0} a}{r}$

Svaret känns helt okej rimligt, däremot så undrar jag ett par saker kring detta.
1. Om jag hade löst detta mha gauss sats så hade jag fått att innanför r=a är v(r)=0 ty ingen laddning innuti. Därför är det något jag inte förstår

2. För att ta hänsyn känns det rimligt att använda gauss sats innanför randen och utanför, då för att få olika formler för de olika materialen, men då uppkommer problem från (1).

3. Bör man anta att det finns en laddningsdensitet på randen r=a och sedan en negativ laddningsdensitet vid randen r=rho (om jag använder gaussyta)?.

Tack för svar!

pepsi1968 skrev:
1. Om jag hade löst detta mha gauss sats så hade jag fått att innanför r=a är v(r)=0 ty ingen laddning innuti. Därför är det något jag inte förstår

Fältet är noll inuti sfären. Det säger inget om potential (förutom att den är konstant).

Pieter Kuiper skrev:
pepsi1968 skrev:
1. Om jag hade löst detta mha gauss sats så hade jag fått att innanför r=a är v(r)=0 ty ingen laddning innuti. Därför är det något jag inte förstår

Fältet är noll inuti sfären. Det säger inget om potential (förutom att den är konstant).

Ahh okej så innuti sfären har vi ekvationen: E=-Grad(V), om E=0 då får vi: $- \frac{d v}{d r} = 0 = > v = c_{1}$ , alltså konstant som du säger. Edit: Är konstanten c1 = v0 alltså?

Utanför, finns det en laddningsdensitet på randen?

pepsi1968 skrev:
Ahh okej så innuti sfären har vi ekvationen: E=-Grad(V), om E=0 då får vi: $- \frac{d v}{d r} = 0 = > v = c_{1}$ , alltså konstant som du säger. Edit: Är konstanten c1 = v0 alltså?

Ja, potentialen är en kontinuerlig funktion.

Sfären har en ytladdning.

Pieter Kuiper skrev:
pepsi1968 skrev:
Ahh okej så innuti sfären har vi ekvationen: E=-Grad(V), om E=0 då får vi: $- \frac{d v}{d r} = 0 = > v = c_{1}$ , alltså konstant som du säger. Edit: Är konstanten c1 = v0 alltså?

Ja, potentialen är en kontinuerlig funktion.

Sfären har en ytladdning.

Okej! Kanoners. Hur kommer det sig att min laplace ekvation inte motsvarar samma funktion?

pepsi1968 skrev:

Hur kommer det sig att min laplace ekvation inte motsvarar samma funktion?

Det gör den, med $c_1 = 0$ innanför.

Och så måste det nog vara för att undvika oändligheter.

Pieter Kuiper skrev:
pepsi1968 skrev:

Hur kommer det sig att min laplace ekvation inte motsvarar samma funktion?

Det gör den, med $c_1 = 0$ innanför.

Och så måste det nog vara för att undvika oändligheter.

Ok så det svaret för uppgift är:

för 0<r<a: v(r)=0

för r>a: v(r)= $v \frac{_{0} a}{r}$ ?

pepsi1968 skrev:
Pieter Kuiper skrev:
Det gör den, med $c_1 = 0$ innanför.

Och så måste det nog vara för att undvika oändligheter.

Ok så det svaret för uppgift är:

för 0<r<a: v(r)=0

för r>a: v(r)= $v \frac{_{0} a}{r}$ ?

Nej!

För 0 < r < a: V(r) = c₂=V(a).

Pieter Kuiper skrev:
pepsi1968 skrev:
Pieter Kuiper skrev:
Det gör den, med $c_1 = 0$ innanför.

Och så måste det nog vara för att undvika oändligheter.

Ok så det svaret för uppgift är:

för 0<r<a: v(r)=0

för r>a: v(r)= $v \frac{_{0} a}{r}$ ?

Nej!

För 0 < r < a: V(r) = c₂=V(a).

ah precis.

0<r<a: v(r)=v0

r>a v0a/r

Pieter Kuiper skrev:
pepsi1968 skrev:
Pieter Kuiper skrev:
Det gör den, med $c_1 = 0$ innanför.

Och så måste det nog vara för att undvika oändligheter.

Ok så det svaret för uppgift är:

för 0<r<a: v(r)=0

för r>a: v(r)= $v \frac{_{0} a}{r}$ ?

Nej!

För 0 < r < a: V(r) = c₂=V(a).

Spelar det ingen roll att det är ett dielektrika utanför?

pepsi1968 skrev:
Pieter Kuiper skrev:

För 0 < r < a: V(r) = c₂=V(a).

Spelar det ingen roll att det är ett dielektrika utanför?

Randvillkoren ger att integrationskonstanten c₁=0 och c₂=V(a) för r<a.

Jag fattar nog inte frågan, men du kanske borde rita potentialen som funktion av radie. Som sagt: funktionen är kontinuerlig.

Pieter Kuiper skrev:
pepsi1968 skrev:
Pieter Kuiper skrev:

För 0 < r < a: V(r) = c₂=V(a).

Spelar det ingen roll att det är ett dielektrika utanför?

Randvillkoret ger att integrationskonstanten c₂=V(a) för r<a.

Jag fattar nog inte frågan, men du kanske borde rita potentialen som funktion av radie. Som sakt: funktionen är kontinuerlig.

Är detta en rimlig figur, v0=5v och radien av sfären=1m

pepsi1968 skrev:
Spelar det ingen roll att det är ett dielektrika utanför?

Dielektrikum gör att det behövs en större laddning på kopparsfären för att laddas upp till V (se formeln för kapacitansen av en sfär).

Men potentialen vid randen bestämmer Laplace-ekvationens lösning i de laddningsfria områden.

Svara

Visa senaste svar