Sfäriska koordinater

Hej, i denna uppgiften ska vi byte till sfäriska koordinater, men när jag beräknar gränser för vinkelen får jag fel. Det står i faciten att den ska gå från noll till pi/2. 
eftersom det är en halvsfär så vet jag att vinkelen ska bli halvert, men jag vill öva mig på den metoden övan, så kan jag få hjälp med att hitta hur jag gör fel 

mvh

suad 

Den andra Vinkelen ska vara mellan 0 och 2pi. Och Radien ska vara från 0 till 1

Vad är det du försöker göra? Vad kommer första ekvationen ifrån tex?

hej, och tack får svar, eftersom vi kan använde gaussats, där vi inför en cirkel i xy-planet så att området blir kompakt. 

då får vi integranden 3z^2+3y^2, men no ska jag byte till sfäriska koordinater, x=rsin(k)cos(t), y=rsin(k)sin(t), z=rcos(k). 

och jag använder att rsin(k)=sqrt(x^2+y^2), och att z= rcos(k)=1-sqrt( x^2+y^2)

därmed får jag att rsin(k)=1- rcos(k), men jag får fel vinkel k, så jag undrar på hur gör jag fel. 

Varför skulle z vara 1-xy-radien? Då borde du få en kon istället för klot väl?

z>0 <=> rcos(k) >0 <=> k<pi/2

Är det något sånt du ville göra?

ja det stämmer, så eftersom vi har en klot kan vi inte använde att z är 1-sqrt( x^2+y^2)

jag använder att z är lik 1-sqrt( x^2+y^2), eftersom det framgår från uppgiften att vi har x^2+y^2+z^2=1 

Om du möblerar om den ekvationen en gång till kanske ettan hamnar under roten istället. ;)

Annars är x2+y2+z2=r2, så du får r2=1.

Du kan inte få någon vinkel från den ekvationen utan det är den andra som sätter den gränsen.

hej, och tack för din hjälp, kan du visa jag hur vi kan möblera om ekvationen, eftersom det är viktigt för mig att lära denna metoden, så att jag vet hur jag ska använde den 

Om du vill bryta ut z är det bara flytta över x2 och y2 till andra sidan och sen efter ta roten ur på båda sidor. Men jag vet inte varför du vill det här.

Du får 2 ekvationer. Byt ut båda mot polära koordinater och räkna på en i taget. Första ger r2=1 eftersom x2+y2+z2=r2 enligt definitionen.

Andra räknade vi ut ett par inlägg upp ger att k<pi/2. Och vi har inte fått någon  gräns på t så den kan vara vad som helst.

Hej, jag får de två ekvationerna, men hur får jag att r^2 =1, ur den första ekv. Och vinkelen pi/2 ur den andra.

Försöker du få ut mellan vilka gränser vinkeln mot z-axeln , dvs $\theta$, ska variera inom då villkoret är:

$z>0$?

$z>0$ betyder att

$r\cos(\theta)>0$.

Eftersom $r>0$ måste $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ annars är $\cos(\theta)$ negativ.

tack så mycket, nu ser det battre ut

Hej, lösningsforslaget står det att integranden 3z^2+3y^2 blir efter byte med sfäriska koordinater lik 

(r^2-r^2sin^2(t)cos^2(k))r^2sin(t). Där r^2sin(t) är förandringsvektor. Men hur får man det till. 

$r^2=x^2+y^2+z^2$

$y^z+z^2=r^2-x^2$

Sätt in $x=r\sin(\theta)\cos(\varphi)$

$y^2+z^2=r^2-r^2\sin^2(\theta)\cos^2(\varphi)$

-------------------------------------------------------------------------------------------

Alternativ:

$y=r\cos(\theta)$

$z=r\sin(\theta)\sin(\varphi)$

$y^2+z^2=r^2\cos^2(\theta)+r^2\sin^2(\theta)\sin^2(\varphi)$

Med $\sin^2(\varphi)=1-\cos^2(\varphi)$ får vi

$y^2+z^2=r^2\cos^2(\theta)+r^2\sin^2(\theta)(1-\cos^2(\varphi))$

Nu kommer vi ihåg att $r^2\cos^2(\theta)+r^2\sin^2(\theta)=r^2$, alltså blir

$y^2+z^2=r^2-r^2\sin^2(\theta)\cos^2(\varphi)$

tack så mycet