Sfärens area

EDIT: Jag slarvade lite, men det går nog att fixa :)

Alla N konerna är lika stora.
Om man tänker sig att
X = klotets volym
Y = volymen av 1 kon

Då: X = N*Y (edit: inte riktigt rätt)

Och R=h (där R är klotets Radie och är konens höjd)

Dessutom är N*B = sfärens area (vilket är vad du söker) (edit: inte heller riktigt rätt)

Den här uppgiften är förmodligen ett feltänk från början till slut. :)

Rolig graf du tog fram där!

Fast jag tror det är ganska lätt att argumentera för att coverage för ytan förhåller sig precis som coverage för volymen. Varje godtyckligt tunnt lager man skalar av har precis samma coverage, ända tills det kvarvarande "klotet av koner" är godtyckligt litet. Jag gillar din coverage-parameter: lägg till den både i uttrycket för volym och area så kan du förkorta bort den.

zo0ok skrev :

Rolig graf du tog fram där!

Fast jag tror det är ganska lätt att argumentera för att coverage för ytan förhåller sig precis som coverage för volymen. Varje godtyckligt tunnt lager man skalar av har precis samma coverage, ända tills det kvarvarande "klotet av koner" är godtyckligt litet. Jag gillar din coverage-parameter: lägg till den både i uttrycket för volym och area så kan du förkorta bort den.

Nej, den samlade volymen av konerna går inte mot volymen av sfären "på samma sätt" eller "med samma hastighet" som täckningen eller täckningsgraden av konernas basytor går mot sfärens yta.

Att det råkar se ungefär samma ut beror bara på att vi har en volymformel som innehåller en höjd som med lite fantasi "nästan" kan vara en radie i en sfär och en basyta som skalar med höjden.  Jämför med en generell kon med en godtycklig basyta runt en höjd h där ytan är omvänt proportionell mot höjden och slutar i en punkt. Volymen för en generell kon är fortfarande

$V=B*h/3$

Faktum är att vi kan göra en hiskeligt konstig basyta, t.ex. stiliserad glad ko och ändå nå exakt samma resultat med frågetextens "logik". Frågan är nu hur vi ska packa våra kor för att nå optimal täckningsgrad. Det är väldigt svårt.

Om vi återgår till våra koner med cirkulär basyta är huvudproblemet alltså att arrangera våra koner (utan överlapp) enligt följande nödvändiga, men ej tillräckliga kriterier för maximal täckning:

1. Varje medelpunkt $r_j$ ska ligga på ekvidistant avstånd till sina 3 närmsta grannar
2.  Avståndsparametern d är sådan att  $min_{i\neq j}| \mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|=d$ for alla i.

Det finns exakta lösningar upp till N=24, hur vi ska arrangera "ett stort antal N koner" utan överlapp och med känd täckningsgrad är inte trivialt.

Problemet är ekvivalent med att lägga ett antal laddningar på en metallsfär och låta dem fördela sig med maximalt avstånd mellan sig.

Guggle skrev :

Nej, den samlade volymen av konerna går inte mot volymen av sfären "på samma sätt" eller "med samma hastighet" som täckningen eller täckningsgraden av konernas basytor går mot sfärens yta.

Då är det ju lustigt att

4 * pi * R^3 / 3 = N * B * h / 3  (R = h)

4 * pi * R^2 = N*B = Arean

zo0ok skrev :

Guggle skrev :

Nej, den samlade volymen av konerna går inte mot volymen av sfären "på samma sätt" eller "med samma hastighet" som täckningen eller täckningsgraden av konernas basytor går mot sfärens yta.

Då är det ju lustigt att

4 * pi * R^3 / 3 = N * B * h / 3  (R = h)

Problemet är som sagt frågans påstående inte stämmer. Det "råkar" se ok ut eftersom en generell kon med valfri basyta har volymen B*h/3. Även en basyta som ser ut som en ko.

Föreslår att du googlar "packing Tammes problem".

Guggle skrev :

Det "råkar" se ok ut eftersom en generell kon med valfri basyta har volymen B*h/3. Även en basyta som ser ut som en ko.

Jag ifrågasätter inte att det är svårt att packa koner optimalt i en sfär (det är säkert kvalificerat svårt).
Jag ifrågasätter inte heller att uppgiften är lite slarvig (kanske rent av dålig).
Mitt bevis är såklart inte alls rigoröst.

1) Det faktum att att koner som inte är sfäriska har samma formel för area och volym, det stärker ju bara sambandet. Låt oss säga att vi har N st koner som vi kan forma som vi vill, då kan vi ju argumentera för att de täcker precis hela ytan (och också volymen).

2) Varje yta (på avstånd r från sfärens centrum) har exakt samma mönster och därmed täckningsgrad. Så för en given uppsättning koner (låt säga att vi har 0.86 täckningsgrad för N=48 enl din figur) så har varje skikt samma täckningsgrad. Det innebär att "klotets volym är fylld" till exakt samma grad som "sfärens yta är täckt". Du kan integrera om du vill. Jag är övertygad om att man kan konstruera ett rigoröst bevis där N går mot oändligheten.

3) Man skulle också kunna tänka sig att ständigt fylla på med den största konen som fortfarande går att kila in. Då skulle man få mindre och mindre koner successivt. B skulle vara medelvärdet av deras basytor, och gå mot 0 när N går mot oändligheten. Jag är övertygad om att man skulle kunna konstruera ett rigoröst sådant bevis också.

zo0ok skrev :

Guggle skrev :

Det "råkar" se ok ut eftersom en generell kon med valfri basyta har volymen B*h/3. Även en basyta som ser ut som en ko.

1) Det faktum att att koner som inte är sfäriska har samma formel för area och volym, det stärker ju bara sambandet. Låt oss säga att vi har N st koner som vi kan forma som vi vill, då kan vi ju argumentera för att de täcker precis hela ytan (och också volymen).

Vi kan också forma dem så de inte täcker något alls. Problemet är att olika basytor mappar olika mot den buktiga ytan (sfären). Det är alltså inte trivialt att påstå att N cirkulära basytor går mot en täckningsgrad av en buktig yta lika snabbt som dess volym går mot en täckningsgrad av sfärens volym.  Om du studerar min graf ser du t.ex att man kan nå väldigt mycket bättre täckningsgrad med N=12 koner än med N=72 koner. Hur förklarar du det?

2) Varje yta (på avstånd r från sfärens centrum) har exakt samma mönster och därmed täckningsgrad.

Nej. Varje N ger ett unikt mönster. Det är inte trivialt att säga något om N+1 när du känner till N. Vidare behöver inte konerna "nudda" varandra eller ha samma hålrum mellan sig. Om du bara ville säga att volymen av N basytor skalar med N så håller jag med :)

3) Man skulle också kunna tänka sig att ständigt fylla på med den största konen som fortfarande går att kila in. Då skulle man få mindre och mindre koner successivt.

Nej, när du adderar en kon förändras hela mönstret och det är inte säkert att en kon extra alltid ger bättre täckningsgrad. Om du studerar min graf ser du att ökat N ofta leder till sämre täckningsgrad.

B skulle vara medelvärdet av deras basytor, och gå mot 0 när N går mot oändligheten.

Det går att hitta en övre gräns för packningstätheten, men det säger inget om hur packningstätheten skalar med N, som jag visat dig behöver inte ett ökat N nödvändigtvis leda till högre packningsgrad.

Jag är övertygad om att man skulle kunna konstruera ett rigoröst sådant bevis också.

Då tycker jag att det är dags att du  försöker. Även om du misslyckas kommer du ha lärt dig en hel del om packning  :)

Du missförstår, avsiktligt eller inte, varenda ett av mina argument.
1) N icke-cirkulära basytor kan trivialt fås att ha bättre täckningsgrad än N cirkulära basytor. 
2) Jo. Alla relevanta linjer (kanter på konerna) går från centrum av sfären till sfärens yta (det är så trivialt så det låter dumt att skriva). Därför är varje "mindre inre sfärisk yta" (om man skalar klotet som en lök) bara en exakt nedskalning av de yttre ytorna.
3) Jag pratar om att varje kon blir mindre och mindre. Det går alltid att få in ytterligare en liten kon. Det betyder att för godtyckligt stort N kan täckningsgraden fås godtyckligt nära 1.

Krökningen blir ett mindre och mindre problem med stora N.

zo0ok skrev :

Du missförstår, avsiktligt eller inte, varenda ett av mina argument.

Då föreslår jag att vi blir lite mer matematiska och att du presenterar bevis för det du påstår.

2) Jo. Alla relevanta linjer (kanter på konerna) går från centrum av sfären till sfärens yta (det är så trivialt så det låter dumt att skriva). Därför är varje "mindre inre sfärisk yta" (om man skalar klotet som en lök) bara en exakt nedskalning av de yttre ytorna.

Ja, om du bara ville säga att volymen av N stycken koner skalar med N eller att basytan på höjden h i en kon skalar med höjden (dvs radien) så håller jag med dig. Men varje N ger ett unikt mönster. Det är inte trivialt att säga något  om N+1 när du känner till N. Vidare behöver inte konernas "kanter" som du kallar dem "nudda" varandra eller ha samma hålrum mellan sig.

3) Jag pratar om att varje kon blir mindre och mindre. Det går alltid att få in ytterligare en liten kon. Det betyder att för godtyckligt stort N kan täckningsgraden fås godtyckligt nära 1.

Nej absolut inte om du menar att de cirkulära konernas basytor skulle täcka sfären. Jag utmanar dig härmed att hitta ett N som ger en packningsdensitet högre än $\frac{\pi \sqrt{3}}{6}$ :)

Om man tänker sig att sfären är så stor jämfört med konens basyta att man helt kan bortse från kröningen, kommer man aldrig att kunna täcka ytan med cirklar (det skulle fungera med hexagoner, exempelvis). Ta bort att konens basyta skall vara cirkulär, så fungerar det.

Om det BARA är (lika stora) hexagoner så blir det en alldeles plan yta.

Ja, det var ju det jag sa. Man kan generalisera från detta.

zo0ok skrev :

Om det BARA är (lika stora) hexagoner så blir det en alldeles plan yta.

Det går att täcka en yta med hexagoner, det går inte att täcka en yta med cirklar. Frågan är alltså om man kan säga något om hur N st cirkulära koners basyta förhåller sig till en sfärs yta givet ett förhållande mellan de N konernas samlade volym och sfärens volym.

För att visa något måste man först bestämma hur stor diameter varje cirkel ska ha. Detta kan man göra genom att söka det den diameter basytan har hos den kon som genom ett  arrangemang av N sådana koner ger högst packningsdensitet på sfärens yta. Detta skalar inte linjärt med N, om du tittar på grafen ovan borde det framgå tydligt (det teoretiska maxvärdet $\rho_{max}$ är också markerat).

För N=12 har vi ett värde som ligger mycket  högre än t.ex. N=72. Det är alltså inte trivialt att påstå något om vad som händer när vi ökar N.

Jag föreslår därför att du nu övergår till matematiska argument.

smaragdalena skrev :

Ja, det var ju det jag sa. Man kan generalisera från detta.

Har du några särskilt halsbrytande generaliseringar i åtanke? :)

Guggle skrev :

det går inte att täcka en yta med cirklar.

Det går att täcka en yta till vilken grad som helst av en blandning av olika stora cirklar.

zo0ok skrev :

Guggle skrev :

Visa föregående citat

det går inte att täcka en yta med cirklar.

Det går att täcka en yta till vilken grad som helst av en blandning av olika stora cirklar.

Det är vore opraktiskt att göra en approximation med oändligt många koner av oändligt många olika storlekar, tycker du inte det? Dessutom antyder uppgiftstexten att konerna har samma basyta.

Vi pratar förövrigt inte om att täcka en platt yta, vi pratar om krökta ytor, vilket betyder att inte ens hexagoner är yttäckande, topologiskt sett kan man säga att de har för många hörn och för få kanter. Sen tillkommer att vi gärna vill låta N vara mindre än oändligheten.

För att återgå till uppgiften. Det går att göra en approximation med en feluppskattning baserat på den teoretiska gränsen $\rho_m=\frac{\sqrt 3\pi}{6}$ för ett givet N, men det är inte trivialt.

Det är väl bara att konstatera, att detta var en dåligt formulerad uppgift som gav upphov till intressanta diskussioner - egentligen en väldigt bra uppgift (om man inte får den på en tenta).

Förövrigt vill jag förtydliga, det går alltså inte att fullständigt täcka en sfärisk yta med hexagoner, vilket man kanske kan få intryck av när man skummar tråden. Orsaken är att sfären har $\chi=2$, finns bland annat mer att läsa om detta här

När vi pratar om att hexagoner är yttäckande menar vi plana ytor eller en approximation av plana ytor. För en fullständig täckning av en sfärisk yta blir det ett pussel som alltid slutar med att man får laga ytan med pentagoner oavsett hur små man gör hexagonerna.

Nu ser jag att jag tappade en bokstav så att innebörden blev lite obegriplig - det skulle stå att om man kan bortse från krökningen (d v s om ytan vore plan) skulle man kunna täcka den med hexagoner. Om jag inte minns fel räcker det med 12 pentagoner för att kunna kröka ytan till ett klot, oavsett hur många hexagoner man har (om man inte har några hexagoner alls, blir det en ikosaeder, om man har ett "lager" hexagoner runt varje pentagon blir det en fotboll).

Det slår mig att man skulle kunna presentera ett resonemang som leder till rätt uttryck för sfärens area. Jag ska säga på en gång att jag inte köper det här själv, men det skulle kunna vara en möjlig tanke på vad för slags lösning man (slarvigt) tänkt sig. Låt oss anta att vi byggt bästa tänkbara approximation av en sfär med hjälp av ett gäng koner. Definiera F1 och F2 enligt följande:

$F1 = \frac{S}{NB} =\hspace{0.17em}\frac{S}{N\pi l^2}$         $F2 = \frac{4{\pi }^{ }{r}^3}{3}/\frac{NBh}{3} =\hspace{0.17em}\frac{4\pi r^3}{N\pi l^{2}h}$

F1 och F2 är förhållandena mellan konernas area (som formas av deras basytor) och volym och sfärens dito. Lilla l är konbasens radie. N är antalet koner.

Om vi nu låter N gå mot oändligheten så kommer h gå mot cirkelns radie r, medan l går mot noll. Vi antar då att sfären ifråga är konstant och att vi håller vår växande skara koner låsta vid att försöka approximera sfären på bästa möjliga sätt.

Om man kisar lite ser man att både F1 och F2 beter sig som $\frac{KONSTANT}{N{l}^2}$ för stora N. Om man sätter $\underset{N\to \infty }{\lim }F1 = \underset{N\to \infty }{\lim }F2$  trillar det ut att $S =\hspace{0.17em}4\pi r^2$.

Som sagt, jag köper inte det här resonemanget själv, av minst tre separata anledningar. Bland annat det som Guggle varit inne på, att konernas basytors approximation av sfärens yta inte per automatik blir bättre med ökande N. Men jag undrar om det kanske var något sådant här uppgiftslämnaren haft i åtanke?

Sen fastnar jag också lite för ordvalen i uppgiften: Det står "hitta ett uttryck", inte "hitta uttrycket". Det står också att konernas basyta kommer att approximera sfärens yta. Vet vi ens säkert att man förväntas hitta det korrekta uttrycket, eller är det bara bästa möjliga med de givna förutsättningarna som efterfrågas?