Sfär och kon

Likformiga trianglar, tycker jag.

Hur?

Kan du skapa en bra skiss med radierna, höjden och vinklarna?

Det här är allt jag lyckas komma fram till

Ja, det är en början, men h finns inte med på skissen.

Vad är x och y?

Och jag skulle rita en linje från cirkelns (sfärens) mittpunkt till v hörnet.

Tillägg: 11 okt 2023 18:37

r saknas också på skissen.

Jag gjorde om figuren så att det skulle se bättre ut, men jag vet inte om jag är på rätt spår. Jag antog också att y = h/2

Jag glömde tillägga att r är från v till y i x-led för konen

y är inte nödvändigtvis lika med h/2. Egentligen är det alltid mindre än h/2.

Men y = R.

Och nu ser du två kongruenta och ett par likformiga trianglar. Om du namnger hörnen, cirkelns mittpunkt och höjdens baspunkt kan du börja resonera om dessa trianglar.

Jag förstår inte

Nu behöver jag få r^3 till en vinkel på nåt sätt, men hur då?

Jag blir ju inte av med r på något sätt

Ser du att din streckade linje halverar vinkeln v?

Jag ber om ursäkt. Du såg det.

$R = r*\tan \left(\frac{\nu }{2}\right) \Rightarrow r = \frac{R}{\tan \left({\displaystyle \frac{\nu }{2}}\right)}$

Ja jag fick till det nu. Titta här:

Däremot är det en grej jag inte förstår, varför ska R vara kvar i uttrycket? Det jag menar med det är, varför ska inte R uttryckas av en vinkel, hur ska jag veta det?

R måste vara i uttrycket. Det är den enda längd du känner.

Okej, det känns lite som en ”jag fattar, men samtidigt inte”-fråga. Den va ganska klurig. Nu får jag försöka på b), annars hojtar jag till igen

Jag tycker att det är bäst att införa en ny variabel: $a = \tan \left(\frac{\nu }{2}\right)$

På b) deriverar jag enligt kvotregeln men jag kommer inte fram till någon vinkel v. Hur gör jag?

Med $a = \tan \left(\frac{\nu }{2}\right)$ blir det mycket enklare. Och du behöver ett samband mellan $\tan \left(\frac{\nu }{2}\right)$och $\tan \left(\nu \right)$.

Du kan använda $\tan \left(2x\right) = \frac{2\tan \left(x\right)}{1-{\tan }^{2}x}$ dvs $\tan \left(\nu \right) = \frac{2a}{1-a^2}$

Jag hänger inte med

Formeln blev mycket komplicerad. Vi kan förenkla den genom att skriva "a" i stället för $\tan \left(\frac{\nu }{2}\right)$.

Men hur blir det för tan v då, hur kommer du fram till det som du visade för tan v?

Ja. Bra fråga. men vi har tur. I formelsamlingen finns formel för dubbla vinklar.

Tillägg: 11 okt 2023 19:40

Bara ett exempel: https://www.dummies.com/article/academics-the-arts/math/pre-calculus/trig-identities-for-pre-calculus-175788/

Den finns inte med i matte 4 formelsamling

Oj. Jag kollar...

Gör så :)

Vad vi kan göra: härleda den från sin2x och cos2x så här:

$\tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\frac{2\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x - {\sin }^{2}x}=\frac{\left({\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}\right)*2\sin x\cos x}{\left({\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}\right)*({\cos }^{2}x - {\sin }^{2}x)}$

Ser du?

Så det där är den mest optimala lösningen för att komma fram till v på uppgift b)?

Den känns mycket mycket långdragen

Ja, jag håller med. Men jag kunde inte tänka på något enklare. Jag är ledsen.

Jag ser sambandet faktiskt, sen deriverar jag V’(a) va och sätter = 0?

Ja. Vad vi har nu: $\mathrm{V} = \mathrm{\pi }\frac{{\mathrm{R}}^3}{3}*\frac{{\displaystyle \frac{2\mathrm{a}}{1-{\mathrm{a}}^2}}}{{\mathrm{a}}^3}=\frac{2{\mathrm{\pi R}}^3}{3}*\frac{1}{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{a}}^4}$

Och nu kommer kvotregeln.

Det blir fortfarande fel. Enligt facit är svaret 8piR³/3 v.e

Helvete, det här kommer komma på nationella, garanterat

Derivatan av $\frac{1}{a^2-a^4}$är $\frac{2a-4a^3}{{(a^2-a^4)}^2}$

Roten är $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (och a=0, men det gäller inte)

Det va exakt det jag kom fram till och sen bestämmer man v genom att ta 2*arctan 1/rot2

Förlåt, mitt fel. Det stämmer. Ursäkta mig.

Förresten, tack så otroligt mycket för hjälpen. Att du la ner din tid förtjänar en medalj på riktigt. Säg det till admin från mig. Du är guld, helt ärligt. Hjärta av guld

En sån här fråga måste generera minst 4 A-poäng

Tack! Men jag är verkligen ledsen att vi inte hittade någon enklare lösning :(

(https://www.geeksforgeeks.org/minimum-volume-of-cone-that-can-be-circumscribed-about-a-sphere-of-radius-r/)

(https://math.stackexchange.com/questions/1244191/minimum-volume-of-a-circular-right-cone-with-a-sphere-inscribed-in-it)

Vet du vad jag tror, det du gjorde är den korrekta lösningen för det är dessutom den allra sista frågan på min mattebok som jag pluggar på, då vill man krydda till det så klart. Däremot är en sådan fråga en typisk nationella fråga på 3 raka A-poäng, vilket kan kosta en mycket för det är svårt att komma på allt detta när man tidigare aldrig stött på dessa typer av avancerade uppgifter.