Sexsidig tärning

Vi tänker oss följande scenario:

Du tillverkar en kub genom att såga ut den ur ett stycke furu.

Sedan målar du den lila.

Sedan tycker du att du skall måla upp den i 125 bitar, så du tar till en bandsåg och gör detta, så att det ser ut som på bilden.

De nu uppkomna småkuberna har vissa sidor som är lila, vissa sidor som är omålade. Det finns t.ex. åtta stycken småkuber som har vardera tre sidor målade, de småkuber som tidigare var den stora kubens hörnor.

Uppgiften är nu nyfikna på de småkuber som inte har någon sida målad. För att en kub skall vara omålad vill det till att ingen av småkubens sidor angränsar till den stora kuben sidor, dvs. kuben måste vara fullkomligt i innanmätet på den stora kuben. Kan du räkna ut hur många småkuber som helt befinner sig i innanmätet och som inte angränsar till stora kubens kant? Om du har svårt att se det framför dig, tänk dig att du jobbar i 2D och att du har ett rutnät á 5x5 där de som ligger i utkanten av tabellen räknas som målade. Tänk sedan till vad motsvarigheten blir i 3D.

Den mängd motsvarar gynnsamma utfall, och den totala mängden möjliga utfall ges av 5x5x5, 125, vilket tillsammans borde ge sannolikheten.

Du kan tänka så att kuben som består av 125 småkuber är målad på utsidan. Du kan tänka att man skalar bort det yttre lagret med målade kuber kvar blir då en omålad kub i mitten som består av 3*3*3 = 27 kuber.

Frågan som ställs är sannolikheten för att dra en kub som inte är målad dvs $\frac{gynsamma utfall}{Möjliga utfall}$Vilket ger

$\frac{27}{125}$=0,216 dvs 21,6% sannolikhet.