Serier: Korollarium till jämförelsekriteriet på gränsvärdesform (positiva serier)

Hej!

Till jämförelsekriteriet för positiva serier som lyder att:

$O m 0 \leq a_{k} \leq b_{k}, f ö r k = 1, 2, 3, . . . o c h o m s e r i e n \sum_{1}^{\infty} b_{k} k o n v e r g e r a r, s å k o n v e r g e r a r \sum_{1}^{\infty} a_{k}$

finns ett korollarium som säger att:

$A n a t a g a t t \sum_{} a_{k} o c h \sum_{} b_{k} ä r p o s i t i v a s e r i e r s å d a n a a t t, n ä r k - > \infty, \frac{a_{k}}{b_{k}} - > c, 0 < c < \infty D å g ä l l e r a t t : \sum_{} a_{k} k o n v e r g e r a r < = > \sum_{} b_{k} k o n v e r g e r a r$

Bevis:

$A n t a g f ö r s t a t t \sum_{} b_{k} k o n v e r g e r a r . D å a_{k} / b_{k} - > c > 0 m å s t e 0 < \frac{a_{k}}{b_{k}} < c + 1, f ö r a l l a k \geq n å g o t N, a l l t s å 0 \leq a_{k} \leq (c + 1) b_{k} \forall k \geq N . M e n \sum_{1}^{\infty} (c + 1) b_{k} k o n v e r g e r a r v a r f ö r ä v e n \sum_{1}^{\infty} a_{k} k o n v e r g e r a r e n l i g t j ä m f ö r e l s e k r i t e r i e t .$

Beviset är mer eller mindre analogt för a_k.

Till min fråga, som exempel på hur vi kan tillämpa det här ges:

$U n d e r s ö k o m s e r i e n \sum_{1}^{\infty} \sin (1 / k) k o n v e r g e r a r L ö s n i n g : \sin x \approx x f ö r s m å | x |, d ä r f ö r r i m l i g t a t t j ä m ö r a m e d d e n h a r m o n i s k a s e r i e n : \sum_{1}^{\infty} \frac{1}{k} \frac{\sin (1 / k)}{\frac{1}{k}} - > 1 d å k - > \infty, v e t a t t d e n h a r m o n i s k a s e r i e n d i v e r g e r a r v a r f ö r ä v e n \sum_{1}^{\infty} \sin (1 / k) d i v e r g e r a r$

Jag är inte helt med på hur det här hänger ihop med följdsatsen ovan.

Är det ett krav att kvoten går mot ett tal c för att vi ska kunna dra slutsatsen att serien a_k är divergent när serien b_k är divergent? Det här borde ju betyda att enda sättet att få en ändlig kvot med en divergent följd i nämnaren är att ha en divergent följd i täljaren (och tvärtom) och att vi från följdsatsen även kan säga:

$\sum_{} a_{k} d i v e r g e r a r < = > \sum_{} b_{k} d i v e r g e r a r$ , när förutsättningarna från följderna är detsamma som nämnt i ovan korollarium.

Om det är såhär så har jag svårt att direkt se varför, har försök bolla lite fram och tillbaka med beviset men får inte till något som jag (intuitivt i alla fall) tycker ser rimligt ut.

Någon som vet hur man ska tänka här alternativt känner till någon sats eller proposition som jag verkar ha missat eftersom jag inte förstår det här fullt ut?

Tack på förhand

Vänligen

Antag att hypotesen av din följdsats ovan är uppfylld, d.v.s. $\frac{a_k}{b_k} \rightarrow c$ , för något $0 < c < \infty$ . Om $\Sigma a_k$ konvergerar så vet vi då att $\Sigma b_k$ konvergerar. Detta är precis samma sak som att säga att om $\Sigma b_k$ divergerar så måste $\Sigma a_k$ divergera (för om $\Sigma a_k$ konvergerade hade divergens av $\Sigma b_k$ varit omöjligt). Det är denna senare formulering som utnyttjas i exemplet, det är det s.k. kontrapositiva påståendet till en av implikationerna i satsen.

Tack för svaret, nu förstår jag bättre! :)

Svara