Serier, konvergens/divergens, induktionsbevis och partialsummor

Prova några värden på k för att få en intuitiv förståelse av varför $$\begin{gathered} S_k=1+r+r^2+...+r^k+... \\ r·S_k=r+r^2+r^3+...+r^{k+1}+... \\ {S}_k-r·S_k=(1-r)S_k=1-r^{k+1} \end{gathered}$$

Jag har tidigare också förvirrats av härledningen för geometriska serien. Jag brukar tänka så här för att förstå:

$S_k =1+r+r^2+ ... + r^k$

$r\cdot S_k = r + r^2 + ... + r^{k+1}$

Om vi tar differensen av dessa kommer vi ju bara få kvar den första och sista termen. Alltså har vi att

$S_k - r \cdot S_k = (1-r)S_k = 1 - r^{k+1}$

Dividera nu med $1-r$ så har vi vår formel. Så därifrån kommer faktorn $1-r$

Jag inser också att det kan vara lite förvirrande när man använder sig av partialsummor för att definiera konvergensen för summor. Anledningen till att man gör det är för att man vill återföra huruvida summor konvergerar till frågan om huruvida följder konvergerar.

En följd är ju en följd av nummer

$b_0, b_1, b_2, ...$

och ni borde ha definierat vad det innebär att en följd konvergerar. Är antagligen någon sorts $\epsilon$-definition. Vi inför uttrycket partialsummor av denna anledningen. Låt oss säga att vi har en summa

$S_n=\sum_{k=0}^{\infty} a_ k = a_0 + a_1 + a_2 + ...$

Då sätter vi varje partialsumma till att vara ett tal i vår följd ovan, alltså

$b_0 = S_0 = a_0$

$b_1 = S_1 = a_0 + a_1$

$b_2 = S_2 = a_0 + a_1 + a_2$

osv. Så vi kan nu använda oss av alla verktyg och definitoner som vi har för följder. Alltså blir definitionen av huruvida en summa konvergerar en fråga om huruvida denna följd av partialsummor konvergerar. Är ju väldigt mycket en teknikalitet för att matematiken ska vara rigorös.

Tusen tack för hjälpen! Det gjorde det betydligt mycket klarare!