Serier: konvergens/divergens

Hej Lotus,

Utnyttja att täljare och nämnare är snarlika.

    $\frac{1-k}{1+k} = 1-\frac{2}{1+1/k}$

för att få serien 

    $1+\sum_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{2}{1+1/k}\right)^k$

Den givna serien är ungefär lika med serien

    $1+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}$

eftersom $1-\frac{2}{1+1/k} \approx -1$ då $k$ är tillräckligt stort.

Albiki skrev:

Hej Lotus,

Utnyttja att täljare och nämnare är snarlika.

    $\frac{1-k}{1+k} = 1-\frac{2}{1+1/k}$

för att få serien 

    $1+\sum_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{2}{1+1/k}\right)^k$

Den givna serien är ungefär lika med serien

    $1+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}$

eftersom $1-\frac{2}{1+1/k} \approx -1$ då $k$ är tillräckligt stort.

Hur kan man motivera att gränsvärdet för (1-2/ngt)^k går mot - 1^k? Jag fastnade på den biten. Eftersom beloppet är <1 och det blir upphöjt till k så känns det lika naturligt att det skulle kunna gå mot 0. 🤔

Albiki skrev:

Hej Lotus,

Utnyttja att täljare och nämnare är snarlika.

    $\frac{1-k}{1+k} = 1-\frac{2}{1+1/k}$

för att få serien 

    $1+\sum_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{2}{1+1/k}\right)^k$

Den givna serien är ungefär lika med serien

    $1+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}$

eftersom $1-\frac{2}{1+1/k} \approx -1$ då $k$ är tillräckligt stort.

Tack för svar! Jag förstår dock inte riktigt hur du hoppar till "den givna serien är ungefär lika med serien" , eller kan man motivera det?

Micimacko skrev:

Albiki skrev:

Hej Lotus,

Utnyttja att täljare och nämnare är snarlika.

    $\frac{1-k}{1+k} = 1-\frac{2}{1+1/k}$

för att få serien 

    $1+\sum_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{2}{1+1/k}\right)^k$

Den givna serien är ungefär lika med serien

    $1+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}$

eftersom $1-\frac{2}{1+1/k} \approx -1$ då $k$ är tillräckligt stort.

Hur kan man motivera att gränsvärdet för (1-2/ngt)^k går mot - 1^k? Jag fastnade på den biten. Eftersom beloppet är <1 och det blir upphöjt till k så känns det lika naturligt att det skulle kunna gå mot 0. 🤔

När du skriver "1-2/ngt" uppfattar jag det som att du menar att det inte spelar någon roll vad "ngt" är? Här spelar det roll att "ngt" närmar sig 1 så att "1-2/ngt" närmar sig $-1$ och att den givna seriens termer blir mer och mer lika termerna i den icke-konvergenta serien $\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k$.

Nej jag orkade bara inte tjafsa med mobilen.. Det jag menade var att beloppet alltid kommer vara lite mindre än 1, och kollar vi på tex x^k så kommer ju funktionen gå mot 0 för alla tal som är lite mindre än 1. Varför händer inte samma sak här?

Det gäller att $1-\frac{2}{1+1/k}$ avtar mot $-1$ då $k$ växer, så jag förstår inte hur du får dess absolutbelopp att närma sig 0.

Nej talets belopp går mot - 1. Det är när ^k kommer in jag blir förvirrad. Att det borde spela stor roll om det verkligen är - 1 eller nästan - 1 när vi börjar upphöjda till för stora saker.

Blir gränsvärdet för |(1-k)/(k+1)|^k 1? Hur kan man räkna ut det?

Micimacko skrev:

Blir gränsvärdet för |(1-k)/(k+1)|^k 1? Hur kan man räkna ut det?

Nu är det inte absolutbelopp som ska upphöjas till $k$, så varför gör du det? Är det för att undersöka om den givna serien är absolutkonvergent?

Nej mer för att jag undrar hur stora talen blir långt fram i följden. Men eftersom den hoppar mellan + och - kan ju bara gränsvärdet bli 0 eller finns inte.

Och finns inte är ett tråkigt svar att komma fram till.

Micimacko skrev:

Blir gränsvärdet för |(1-k)/(k+1)|^k 1? Hur kan man räkna ut det?

Logaritmera och använda MacLaurin-utvecklingen för ln(1-x) kanske funkar, men jag har inte provat. 

Typ såhär? Det är inte 0 iaf så antar att det räcker med divergenstest då?