serier, bestäm n

$\sum _{k=1}^n{k}^3=\frac{n^2{(n+1)}^2}{4}$

Har du den i din formelsamling?
Om inte kan du ta fram den själv genom att följa: https://brilliant.org/wiki/sum-of-n-n2-or-n3/
Läs under 'Sum of the Cubes of the First n Positive Integers'

Edit: Ser nu att det inte riktigt är svar på a utan snarare b. Men kanske hjälper ändå?

joculator skrev:

$\sum _{k=1}^n{k}^3=\frac{n^2{(n+1)}^2}{4}$

Har du den i din formelsamling?
Om inte kan du ta fram den själv genom att följa: https://brilliant.org/wiki/sum-of-n-n2-or-n3/
Läs under 'Sum of the Cubes of the First n Positive Integers'

 

Edit: Ser nu att det inte riktigt är svar på a utan snarare b. Men kanske hjälper ändå?

okej vi får ej ha formelsamling på tentan, så är denna något man ska kunna utan till eller går det att räkna fram?

så om jag har den omskrivningen så sätter jag den lika med 90000 och löser ut n ?

Ja, då får du ut vad n är.    

Men det är ju b. Om du löser a först kanske du får tips på hur b skall lösas utan formel?

joculator skrev:

Ja, då får du ut vad n är.    

Visa spoiler

n=24

Men det är ju b. Om du löser a först kanske du får tips på hur b skall lösas utan formel?

okej men för att lösa n så gör jag väl exakt samma som i b) fast jag byter ut = till > istället? alltså löser en olikhet istället för en likhet?

Jag är inte säker på vad den avsedda lösningsmetoden är, men en annan approach är att ställa upp en integral som du jämför med:

${\int }_a^b{k}^{3}dk$

Integralen kan vara antingen strikt större än, eller strikt mindre än, summan du vill undersöka, beroende på hur du väljer integrationsgränserna a och b. Kommer du ihåg begreppen under-/översumma från när integraler introducerades? Det är samma idé.

Genom att välja a och b så att integralen är större än din summa, kan du sen välja n=23 och beräkna integralens värde. Då ska du få ett tal som är mindre än 90000, och eftersom summan är mindre än integralen måste även den vara mindre än 90000. Man får alltså inte ett exakt svar på vad summan är, men man får tillräckligt för att avgöra att n=23 är för lite.

Även om joculators metod är bra om formeln finns till hands, är inte tanken att använda sambandet mellan summor och integraler? Nu var det ett bra tag sedan jag gjorde detta, men finns det inte en regel som säger att alla växande funktioner uppfyller

$f\left(a\right)+{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx \le \sum _{k=a}^{b}f\left(x\right) \le f\left(b\right)+{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

?

Det skulle kunna användas för att undersöka den övre olikhetens värde. Om n = 23 inte räcker för ett större tal, då räcker det verkligen inte för summan heller. :)