Seriens summa och avgör konvergens
Hej!
jag fastnade på den här uppgiften och vet ej hur jag ska avgöra konvergens samt ta reda på sökta x. Så långt kom jag hittils.
För att den skall konvergera vill det till att antingen så är alla tal i sekvensen lika med 0 så snart vi kommit en bit in i sekvensen, eller så är gränsvärdet för talen i sekvensen lika med 0.
Som motivation: om de går mot ett ändligt tal så summerar vi över en oändlig summa av tal som är ungefär lika stora som det ändliga talet, så summan kommer bli oändligheten.
Eftersom vi inte kan bilda någon sekvens där talen efter ett tag endast blir 0 vill det till att hitta för vilka x som talen i sekvensen går mot noll då k går mot oändligheten.
Bedinsis skrev:För att den skall konvergera vill det till att antingen så är alla tal i sekvensen lika med 0 så snart vi kommit en bit in i sekvensen, eller så är gränsvärdet för talen i sekvensen lika med 0.
Som motivation: om de går mot ett ändligt tal så summerar vi över en oändlig summa av tal som är ungefär lika stora som det ändliga talet, så summan kommer bli oändligheten.
Eftersom vi inte kan bilda någon sekvens där talen efter ett tag endast blir 0 vill det till att hitta för vilka x som talen i sekvensen går mot noll då k går mot oändligheten.
Kan man tänka såhär och är detta rätt då?
Facit får det till såhär. Jag förstår ej var 9x^2/1-3x^2 kommer ifrån. Sen är jag ej med på var 1/t-1 kommer ifrån heller.
Din första ansats är nog lite bättre. Det är snyggt att göra serien till geometrisk med kvoten k=3x2. Om k<1 så konvergerar serien. Om k>1 divergerar den. Lös alltså olikheterna 3x2<1 och 3x2>1. Sedan behöver du också titta på 3x2=1 för konstatera att den divergerar där. Summan där den konvergerar har du redan gett ett uttryck för.
Tomten skrev:Din första ansats är nog lite bättre. Det är snyggt att göra serien till geometrisk med kvoten k=3x2. Om k<1 så konvergerar serien. Om k>1 divergerar den. Lös alltså olikheterna 3x2<1 och 3x2>1. Sedan behöver du också titta på 3x2=1 för konstatera att den divergerar där. Summan där den konvergerar har du redan gett ett uttryck för.
Nu hänger jag ej med här. Du har ej heller svarat på min fråga gällande facit. Min första ansats kan jag ej ens komma fram till samma som facit.. jag vet ej vad n är i min första ansats och är fast där. Frågan är väl att visa att den konvergerar och ej att den divergerar. Jag hittade denna youtube video där jag använde samma lösningsstrategi som honom vilket skiljer sig från facit. https://youtu.be/BK938UjVZx4?si=PpjBKCz8vsVxiPK9
Varifrån fick du då de första raderna du skrev?
n är den sista termen i delsumman och den ska gå mot oändl.
Facits t betecknar den geometriska seriens kvot.
Tomten skrev:Varifrån fick du då de första raderna du skrev?
n är den sista termen i delsumman och den ska gå mot oändl.
Facits t betecknar den geometriska seriens kvot.
Ja jag tänkte bara att vi har 3^2x^2 osv genom att lägga till k=1 osv. Som jag skrev förut så använde jag ratio test som han på youtubeklippet gjorde. Så när n går mot oändligheten så går hela täljaren mot oändligheten? Jag förstår fortfarande ej hur facit får det till 9x^2/1-3x^2 som en summa. Jag får 9x^2*oändligheten/(3x^2-1)
Aa men facit skriver även 1/1-t. Vad innebär det förutom att t är en kvot?
I rad 2 som du skrev är a1 = första termen. n = det sista k-värdet i delsumman. S som du skrev är formeln för delsumman av de n första termerna i den oändliga geometriska serien.
1/(1-t) är formeln för den oändliga serien.
Vad händer med (3x2)n om 3x2<1 och n går mot oändl.?
Tomten skrev:I rad 2 som du skrev är a1 = första termen. n = det sista k-värdet i delsumman. S som du skrev är formeln för delsumman av de n första termerna i den oändliga geometriska serien.
1/(1-t) är formeln för den oändliga serien.
Vad händer med (3x2)n om 3x2<1 och n går mot oändl.?
Ja okej. (3x^2)^n går mot oändligheten när n går mot oändligheten ?
Inte om (3x2)<1 för då går (3x2)n -->0 och det är vad som ger formeln för den oändliga serien.
om (3x2)=1 så är (3x2)n =1 för alla n
om (3x2)>1, ja då går (3x2)n -->oändl.
Tomten skrev:Inte om (3x2)<1 för då går (3x2)n -->0 och det är vad som ger formeln för den oändliga serien.
om (3x2)=1 så är (3x2)n =1 för alla n
om (3x2)>1, ja då går (3x2)n -->oändl.
1) Hur kan (3x^2)^n gå mot 0? Hur vet du det?
2) "om 3x^2=1 så är (3x^2)^n=1 ". Jag vet ej vad du försöker säga här ,menar du att vi har oändlig summa ??
3) okej går den mot oändligheten för alla heltal på x och om x ej är heltal så går den ej mot oändligheten?
Vi tar ett exempel. Säg att 3x2=0,5<1. Då är (3x2)2= 0,25, (3x2)3=0,125 och så vidare. Du ser att värdet halveras varje gång vi ökar n med 1. Då går det mot 0 och likadant för varje värde på 3x2 som är mindre än 1.
Om det är lika med 1 så får vi 1,1,1,..... när vi ökar n-värdet. Allltså konstant =1. Det beror på att 1n=1 för alla n.
Om x är heltal eller inte spelar ingen roll. Det är om 3x2>1 som det går mot oändligheten.
Tomten skrev:Vi tar ett exempel. Säg att 3x2=0,5<1. Då är (3x2)2= 0,25, (3x2)3=0,125 och så vidare. Du ser att värdet halveras varje gång vi ökar n med 1. Då går det mot 0 och likadant för varje värde på 3x2 som är mindre än 1.
Om det är lika med 1 så får vi 1,1,1,..... när vi ökar n-värdet. Allltså konstant =1. Det beror på att 1n=1 för alla n.
Om x är heltal eller inte spelar ingen roll. Det är om 3x2>1 som det går mot oändligheten.
Jag förstår ej alla dina 3 exempel. Blir ej tydligt för mig hur du menar.
Men vad har 3x^2=1 med uppgiften att göra?
Varför spelar det ej någon roll att x är heltal eller ej om 3x^2>1 ska gå mot oändligheten?? Vi ser med blotta öga att om x är heltal så kommer 3x^2>1 gå mot oändligheten. Det är väl bara att testa eller? Du konstaterar bara att 3x^2>1 och säger att VL går mot oändligheten men säger ej hur du vet det.
Tillägg: 12 okt 2023 09:49
Edit: jag tror jag förstår vad du menar.
