Seriekopplad RC-krets

Hej och välkommen hit.

En liten ledtråd: Vilka differentialekvationer kan du beskriva kondensatorn med? Hur är kapacitans definierad?

Jag började lösa den såhär, men jag kommer inte vidare. 

Du ska inte bara skriva att $V_{\rm C}$ är liten och försumma den utan använda sambandet med kondensatorns laddning.  

o123 skrev:

Hur löser man denna uppgift?

Sitter med exakt samma fråga i min tråd och kommer ej någonvart. Hur ska man veta om det är RC urladdning eller uppladdning? Hur ska man hantera 1/RC integralen?

Det står ju i uppgiften att man kan anta att V(IN) är ungefär lika med V(R). Alltså kan man försumma V(C)

Det är väll uppladdning med tanke på att spänningen ändras från 0 till 3

Becky skrev:

Det står ju i uppgiften att man kan anta att V(IN) är ungefär lika med V(R). Alltså kan man försumma V(C)

Nej, men man kan sätta in V_R där det står V_IN i integralen.

Det är väll uppladdning med tanke på att spänningen ändras från 0 till 3

Rimligt. 

Becky skrev:

Det står ju i uppgiften att man kan anta att V(IN) är ungefär lika med V(R). Alltså kan man försumma V(C)

Och den approximationen blir orsaken till avvikelsen.

Man skulle ju räkna ut tiden till att det blev cirka 10 % skillnad. 

Smaragdalena skrev:

Becky skrev:

Det står ju i uppgiften att man kan anta att V(IN) är ungefär lika med V(R). Alltså kan man försumma V(C)

Nej, men man kan sätta in V_R där det står V_IN i integralen.

Det är väll uppladdning med tanke på att spänningen ändras från 0 till 3

Rimligt. 

Men vad har VR för värde? Står ingenting om det i uppgiften och sen säger texten att VIn är spänningen över hela kretsen och då tänker jag att det är typ totala spänningen eller?

Becky skrev:

Det står ju i uppgiften att man kan anta att V(IN) är ungefär lika med V(R). Alltså kan man försumma V(C)

Det är väll uppladdning med tanke på att spänningen ändras från 0 till 3

Hm nja asså jag är förvirrad över hur VR kan vara ekvivalent med VIN? 

Spänningen över kretsen är ju lika med spänningen över resistorn + spänningen över kondensatorn. Om spänningen över kondensatorn är liten då kan kan man anta att spänningen över kretsen är ungefär lika stor som spänningen över resistorn

Hur går det med differentialekvationerna?

Det började ganska bra i ursprungliga inlägget.

Det är ju också lätt att räkna ut och att rita en graf av $\displaystyle \int_0^tV_{\rm IN} dt' = V_{\rm IN} \int_0^t dt'$ som funktion av tid när $V_{\rm IN}$ är konstant (3 volt).

Pieter Kuiper skrev:

Det är ju också lätt att räkna ut och att rita en graf av $\displaystyle \int_0^tV_{\rm IN} dt' = V_{\rm IN} \int_0^t dt'$ som funktion av tid när $V_{\rm IN}$ är konstant (3 volt).

Hur blir det med 1/RC då som vi fick angivet.  Den är väl samma sak som taw. Integrerar vi med avseende på t då?

Matematiskt är det bara så att R är en konstant och C är en annan.

Fysikaliskt kan man se det som en tidskonstant, ja.

destiny99 skrev:

Integrerar vi med avseende på t då?

Ja men matematiskt är det bara en variabel. Matematiken som du behöver är att kunna bestämma $\displaystyle \int_0^a dx$.

Om man sätter in 3 istället för V(IN) blir då integralens värde 3t/tau ?
jag är lite osäker på vad dt’ betyder, kan man se det som att det står dt 

 Jag får också V_Out=$\frac{3t}{\tau }$.  Sedan ges det ju tips på hur man ska beräkna tiden men hur gör man det när vi inte vet V_Out?

Becky skrev:

jag är lite osäker på vad dt’ betyder, kan man se det som att det står dt 

Betyder inte så mycket. Eftersom man redan använde t som beteckning för integrationsintervallets övre gräns behövs en annan beteckning för tidsvariabeln i integrationen.

Man hade kunnat skriva $\displaystyle \int_0^t V(t') dt'$ eller $\displaystyle \int_0^t V(\tau) d\tau$ där V(t) = 3 volt.

Nu: rita V_out som funktion av tid.

Det blir väll en rät linje, men jag vet inte vad riktningskoefficienten blir för att vi inte vet värdet på tau

Men jag antar att i själva verket ska V(out) beskrivas med en exponentialfunktion. Jag hittade följande formel för spänningen över kondensator vid uppladdning  

V(kondensator) = V(krets) - V(krets) ^ (-t/tau) 

vilket i vårt fall blir

V(C) = V(IN) - V(IN) ^ (-t/tau) 

Är det något användbart eller tänker jag helt fel? 

Ja, det blir en spänning som ökar proportionellt mot tid, utan gräns.

Så kan det förstås inte vara. 

Hur ser V_out(t) ut i verkligheten? När blir skillnaden 10 % ?

Pieter Kuiper skrev:

Ja, det blir en spänning som ökar proportionellt mot tid, utan gräns.

Så kan det förstås inte vara. 

Hur ser V_out(t) ut i verkligheten? När blir skillnaden 10 % ?

Menar du att den inte kan vara linjär eller inte kan vara exponentiell? För den blir ju linjär om man ritar den utifrån integralberäkningarna

hejhopp1 skrev:

Pieter Kuiper skrev:

Ja, det blir en spänning som ökar proportionellt mot tid, utan gräns.

Så kan det förstås inte vara. 

Hur ser V_out(t) ut i verkligheten? När blir skillnaden 10 % ?

Menar du att den inte kan vara linjär eller inte kan vara exponentiell? För den blir ju linjär om man ritar den utifrån integralberäkningarna

Som uppgiften säger: RC-kretsen kan användas som en elektronisk integrator. Men det är med approximationen att utgångsspänningen är liten jämfört med ingångsspänningen. Så blir det för höga frekvenser.

Men sedan har vi här en DC-spänning som V_in. Tidsintegralen över den blir ju större än ingångsspänningen och så kan det ju inte vara, eller hur?

Rita vad det blir istället.

I verkligheten är det en exponetial funktion. Jag redigerade mitt senaste inlägg. Är formeln där användbar? 

Rita!

Becky skrev:

Det blir väll en rät linje, men jag vet inte vad riktningskoefficienten blir för att vi inte vet värdet på tau

 

Men jag antar att i själva verket ska V(out) beskrivas med en exponentialfunktion. Jag hittade följande formel för spänningen över kondensator vid uppladdning  

V(kondensator) = V(krets) - V(krets) ^ (-t/tau) 

vilket i vårt fall blir

V(C) = V(IN) - V(IN) ^ (-t/tau) 

Är det något användbart eller tänker jag helt fel? 

Det är kanske inte vad du hittat. Eller så har du hittat på ett dåligt ställe.

den andra formeln i den blåa rutan

Becky skrev:

den andra formeln i den blåa rutan

Ser du att det är något annat än vad du skrev?

Nu gör en graf av den funktionen. Jämför med grafen enligt uppgiftens approximation i samma figur. Bestäm när skillnaden blir 10 %.

Oj, jag glömde e 

ja, jag ska försöka rita 

osäker på om det är rätt

Becky skrev:

osäker på om det är rätt

I princip men du ska vara mera noga. Det handlar om att se skillnader på 10 % i den här uppgiften.

Rita punkter för t = 0,2 τ, 0,4 τ osv.

Det är kanske dumt att rita för hand 

Precis!

Och då ser du var skillnaden är 10 % (vilken slump va?).

Men du kan fortfarande göra vad uppgiften föreslår och använda serieutvecklingen.

Det är mycket bra att rita för hand anser jag. Men för att visa här brukar jag plotta med google:
https://www.google.com/search?q=y%3D3-3*exp%28-t%29%2C+y%3D3*t (sedan zooma in)

Det avviker väll rätt ”tidigt”. Någonstans mellan 0,2tau-0,4 tau eller hur får man ut tiden där det är 10% skillnad? 

Jag vet inte hur man serieutvecklar. Kan man lösa det algebraiskt och få ut ett exakt svar? 

Becky skrev:

 Jag vet inte hur man serieutvecklar.  

Serieutvecklingen av $\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + ...$ 

Är det samma sak som att taylorutveckla? 

Becky skrev:

Är det samma sak som att taylorutveckla? 

Ja. (Eller det finns även andra serieutvecklingar: Maclaurin, Fourier, osv)

blir detta korrekt då? 

Becky skrev:

blir detta korrekt då? 

Uppgiftens mening är att du ska göra det för hand. Och därför kapa termer med x³ och högre.

Jag gjorde det för hand och fick t= 2,1025 tau

men jag undrar om det räcker med att endast ta med de första tre termerna av serieutvecklingen, alltså att man skriver 

e^(-x) = -1 -x+ x^2 /2 … 

Becky skrev:

Jag gjorde det för hand och fick t= 2,1025 tau 

Det stämmer uppenbart inte med figurerna.

Det har du rätt i, har jag skrivit något knasigt här?

Becky skrev:

Det har du rätt i, har jag skrivit något knasigt här?

Skillnaden ska inte vara 90 %. Skillnaden ska vara 10 %.

Och vad är skillnaden mellan $3\dfrac{t}{\tau}$ och $3(1-e^{-t/\tau})$?

Får man fram avvikelsen genom att subtrahera uttrycken men varandra och sätta det lika med 0,1? 

jag trodde att man skulle dividera uttrycken med varandra

Becky skrev:

Får man fram avvikelsen genom att subtrahera uttrycken men varandra och sätta det lika med 0,1? 

jag trodde att man skulle dividera uttrycken med varandra

Först kan du väl bestämma ett uttryck för skillnaden mellan dessa båda grafer som funktion av tid.

Den relativa skillnaden är då nästa steg.

Ett uttryck för skillnaden mellan graferna blir väll 

(X² /2) -2

Becky skrev:

Ett uttryck för skillnaden mellan graferna blir väll 

(X² /2) -2

Nej. Räkna ordentligt. 

Igen säger jag: Det stämmer uppenbart inte med figuren. 

Sådant bör du själv kolla.

Jag vet att jag får fel tid, men jag förstår inte hur jag ska räkna skillnaden mellan graferna. Jag dividerade ju uttrycken med varandra och fick fel. Sen testade jag att subtrahera de och fick fel. Så jag vet inte hur man gör 

Becky skrev:

Jag vet att jag får fel tid, men jag förstår inte hur jag ska räkna skillnaden mellan graferna.  

Problemet är att du får fel värde vid t=0 där skillnaden är 0 - 0 = 0.

Approximationen gav $\displaystyle V\!\left(t\right) = \dfrac{1}{RC} \int_0^t V_{\rm IN} dt' = 3 \frac{t}{\tau}$ volt.

Exakt lösning av differentialekvationen är $\displaystyle V\!\left(t\right) = 3\left(1-e^{-t/\tau}\right) = 3(1-\sum_{n=0}^\infty \frac{(-t/\tau)^n}{n!})$ volt.

Skillnaden är $3 \times \dfrac{(t/\tau)^2}{2}$ volt om vi försummar högre potenser.  

Okej, så man ska tänka på den termen som är tidsberoende och som skiljer uttrycken åt. Det som inte är tidsberoende bortser man ifrån

Becky skrev:

Okej, så man ska tänka på den termen som är tidsberoende och som skiljer uttrycken åt. Det som inte är tidsberoende bortser man ifrån

Nej. Man räknar ut skillnaden. Och behåller den första termen som inte är noll.  

Man bortser från högre potenser (i det här fallet termer i t³ och högre).

Okej, man har ju en konstant också, varför struntar man i den? Med konstant menar jag alltså 6 i uttrycken nedan 

Det här är uttrycket för den faktiska spänningen
3 - 3(-1- (t/tau) +  ((t/tau)²  /2) - ….)

= 6 + 3(t/tau) - 3 ((t/tau)2  /2) ….

Becky skrev:

Okej, man har ju en konstant också, varför struntar man i den? Med konstant menar jag alltså 6 i uttrycken nedan 

 

Det här är uttrycket för den faktiska spänningen
3 - 3(-1- (t/tau) +  ((t/tau)²  /2) - ….)

= 6 + 3(t/tau) - 3 ((t/tau)2  /2) ….

Jag förstår inte vad du gör men $3\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ är lika med 0 vid t=0. Inte 6 volt.

Kolla graferna.

Becky skrev:

Jag gjorde det för hand och fick t= 2,1025 tau

men jag undrar om det räcker med att endast ta med de första tre termerna av serieutvecklingen, alltså att man skriver 

e^(-x) = -1 -x+ x^2 /2 … 

-1 där ska vara 1.

Jaa, okej det va minustecknet som förstörde allt. 
Tusen tack för all hjälp och tid som ni har lagt. Det uppskattas!!

Pieter Kuiper skrev:

Becky skrev:

Får man fram avvikelsen genom att subtrahera uttrycken men varandra och sätta det lika med 0,1? 

jag trodde att man skulle dividera uttrycken med varandra

Först kan du väl bestämma ett uttryck för skillnaden mellan dessa båda grafer som funktion av tid.

Den relativa skillnaden är då nästa steg.

Varför ska man ens ta fram skillnaden mellan graferna när frågan handlar om att uppskatta efter hur lång tid värdet av integralen avviker 10% från den faktiska spänningen? Borde man inte istället ställa upp något i stil med att V_{faktiska spänningen}=V_integralen*0,9 eller V_{faktiska spänningen}=V_intgralen*1,1?

hejhopp1 skrev:

Pieter Kuiper skrev:

Först kan du väl bestämma ett uttryck för skillnaden mellan dessa båda grafer som funktion av tid.

Den relativa skillnaden är då nästa steg.

Varför ska man ens ta fram skillnaden mellan graferna när frågan handlar om att uppskatta efter hur lång tid värdet av integralen avviker 10% från den faktiska spänningen? Borde man inte istället ställa upp något i stil med att V_{faktiska spänningen}=V_integralen*0,9 eller V_{faktiska spänningen}=V_intgralen*1,1?

Eftersom ledningen i uppgiften sade något om en serieutveckling är det en metod att bestämma tiden. Ett ganska matematiskt tillvägagångssätt.

Men du har absolut rätt. Ett fysikaliskt sätt är att kolla hur stor effekt approximationen har. Och det är vid den tiden då avvikelsen av strömmen genom motståndet är 20 %. Och det är för att diskrepansen spänningen/laddningen i kapacitansen är medelvärdet mellan t=0 och den sökta tiden (diskrepansen ökar linjart med tiden).