Serie och generaliserade integral konvergerar eller divergerar

Jag börjar alltid med att försöka bryta ut det som är störst i den generaliserade punkten från både täljare och nämnare, så ser du direkt ungefär hur den beter sig och vad du vill försöka visa.

Hur skulle man exempelvis avgöra om följande serie är konvergent eller divergent $\sum _{k=1}^{\infty }=\left(\ln \right(k + 1) - \ln k)$

Kan man tänka på följande sätt; $\ln \left(\frac{k + 1 }{k}\right)=\ln \left(\frac{2 }{1}\right)=\ln \left(2\right)$?

Summan $\sum_{k=1}^\infty \ln(1+1/k)$ konvergerar inte.

Har ni lärt er några jämförelsekriterier?

ja men jag har inte riktigt förstått dem och hur man ska använda dem

Om du vill bevisa att din serie konvergerar: Hitta en annan serie där varje term är lite större än motsvarande term i din serie, och som du vet konvergerar. Då måste din serie också konvergera.

Om du vill bevisa att din serie divergerar: Hitta en annan serie där varje term är lite mindre än motsvarande term i din serie, och som du vet divergerar. Då måste din serie också divergera.

Det svåra är att hitta en lämplig serie att jämföra med.

Här kan man kanske använda olikheten ln x < x-1?

Tillägg: 23 mar 2022 20:21

Tar tillbaka det, kommer nog inte hjälpa här. Skriv ut några termer och börja stryka de som är likadana.

men jag förstår inte hur man bara kan hitta en serie som råka vara rätt och kan jämföras med original serien?

Ett sätt att få en idé om vad man kan jämföra med är att göra en Maclaurinutveckling

$\ln(1+\frac{1}{k})=\frac1k-\frac{1}{2k^2}+O(\frac{1}{k^3})=\frac{1}{2k}(2-\frac{1}{k}+O(\frac{1}{k^2}))$