Serie med godtyckliga termer, kovergent eller ej

Det låter som en mycket bra strategi att försöka visa att serien absolutkonvergent (och därför måste vara konvergent enligt satsen du citerar i ditt inlägg). Resten av din ansats är också bra.

Men låt mig börja med att påpeka att det är en aning oprecist att säga att $\sin(k)$ "alternerar mellan 1 och -1". Faktum är att vi aldrig får varesig -1 eller 1 om vi stoppar in heltalsvärden för $k$. Om vi stoppar in $k=1,2,3,4,5$ så får vi t.ex. följande värden:

   sin(1)=0.841471, sin(2)=0.909297, sin(3)=0.14112, sin(4)=-0.756802, sin(5)=-0.958924

Men vad som du däremot har helt rätt i är att $\sin(k)$ aldrig kan bli mer än $1$, och aldrig kan bli mindre än $-1$, så $|\sin(k)|\leq 1$ för alla heltal $k$. Alltså får vi, precis som du har skrivit, att

   $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty |\frac{\sin(k)\tan(1/k)}{\sqrt{k}}|=\sum_{k=1}^\infty \frac{|\sin(k)||\tan(1/k)|}{|\sqrt{k}|}\leq \sum_{k=1}^\infty \frac{|\tan(1/k)|}{|\sqrt{k}|}=\sum_{k=1}^\infty \frac{\tan(1/k)}{\sqrt{k}}\,,$

där vi i sista steget utnyttjade att både $\tan(1/k)$ och $\sqrt{k}$ är positiva.

Tricket nu är att fundera på hur $\tan(1/k)$ beter sig för stora $k$.

Om $k$ är stort, så är $1/k$ litet, och en användbar egenskap hos tangensfunktionen är denna: 

Sats: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan(x)}{x}=1$, eller mer intuitivt uttryckt: $\tan(x)\approx x$ för $x\approx 0$.

Detta kan man se på flera olika sätt:

• Visuellt kan man se det genom att plotta $\tan(x)$ och $x$ i samma figur.
• Produktregeln för gränsvärden, kombinerat med ett standardgränsvärde ger att 
     $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan(x)}{x}=\lim_{x\to 0}(\frac{1}{\cos(x)}\cdot\frac{\sin(x)}{x})=1\cdot 1=1$.
• Vi har Maclaurinutvecklingen $\displaystyle\tan{(x)}=x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots$.

Alltså kan vi intuitivt tänka att $\tan(1/k)\approx 1/k$ för stora $k$, och vi får att

   $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{\tan(1/k)}{\sqrt{k}}\approx \sum_{k=1}^\infty \frac{1/k}{\sqrt{k}}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{3/2}}$

där serien i högerledet konvergerar enligt... ja, vaddå för någon sats? 

Nu har vi ett intuitivt argument för varför serien konvergerar. Det enda som saknas för att göra detta till ett bevis är att vi behöver vara lite mer precisa med $\approx$-tecknet...

Mer precist behöver vi förklara varför $\sum_{k=1}^\infty \frac{\tan(1/k)}{\sqrt{k}}$ konvergerar om och bara om $\sum_{k=1}^\infty \frac{1/k}{\sqrt{k}}$ konvergerar.

Känner du till någon jämförelsesats som kan hjälpa oss här?

uttryckte mig fel hehe... menar klart att $-1\le \sin \left(k\right)\le 1$. Tänkte dock inte på att k är ju ett heltal och att sin(k) varken kan bli 1 eller -1 som du visar :). Det var rätt snyggt med tan(x)/x. Jag antar att man måste ha koll på vissa gränsvärden som hjälper en att förenkla.

Sista uttrycket konvergerar enligt satsen för p-serier (3/2>1). Dock känner jag inte till någon sats som skulle kunna förklara det sista...

om jag plottar graferna så

så är tan uttrycket större så kan inte använda jämförelsekrit.

Eller jag vet nog nu! om jag använder

då det blir $k*\left(\tan \right(1/k)=\frac{\tan (1/k)}{1/k}=1$ för gränsvärdet :D

Snyggt jobbat! ^_^

Metoden vi använde här, där vi först approximerade en svår funktion med ett polynom för att få en intuitiv förståelse som vi sen gjorde precis med hjälp av olika former av jämförelsesatser är väldigt användbar!

Senare i kursen (om ni inte redan har stött på det) kommer ni kanske gå igenom maclaurin- och taylorutvecklingar som är ett mer systematiskt sätt att approximera funktioner med polynom.

oh ja, det kommer! lite snålt med tid nu dock hehe