Serie

Kan du säga något om förhållandet mellan x och tan(x) när x är litet? 

Hej!

När $0<><>$  är $x\tan x = x^2+o(x^4)$ vilket ger

    $\frac{\sin k \cdot \tan \frac{1}{k}}{\sqrt{k}} = \frac{1}{k} \tan \frac{1}{k} \cdot \sqrt{k}\sin k = (\frac{1}{k^2} + o(k^{-4}))\cdot \sqrt{k} \sin k = \{\frac{1}{k\sqrt{k}} + o(k^{-3.5})\}\cdot \sin k$.

Om $k$ är tillräckligt stort -- större än ett visst positivt heltal $k*$ -- så gäller det för resttermen att

    $o(k^{-3.5}) \leq \frac{1}{k\sqrt{k}}.$

Det medför att för $k > k*$ gäller det att

    $\frac{\sin k \cdot \tan \frac{1}{k}}{\sqrt{k}} \leq \frac{2}{k\sqrt{k}} \cdot \sin k \leq \frac{2}{k\sqrt{k}}.$