Serie

Beräkna $\sum_{k = 1}^{n} \sin (k θ)$ .

Försök:

$\sum_{k = 1}^{n} \sin (k θ) = \sum_{k = 1}^{n} I m (e^{k θ i})$

Geometrisk summa.

$\sum_{k = 1}^{n} I m (e^{k θ i}) = I m (e^{θ i}) \frac{1 - I m {(e^{θ i})}^{n}}{1 - I m (e^{θ i})} = \frac{I m (e^{θ i}) (1 - I m (e^{θ n i}))}{1 - I m (e^{θ i})} = \frac{\sin (θ) (1 - \sin (n θ))}{1 - \sin (θ)}$

Facit:

$\frac{\sin (\frac{n \cdot θ}{2}) \cdot \sin (\frac{(n + 1) \cdot θ}{2})}{\sin (\frac{θ}{2})}$

Jag har inte kommit längre.

Du får inte flytta in exponenter i imaginärdelsfunktionen hur som helst. $I m (e^{i θ})^{n}$ är inte lika med $I m (e^{i n θ})$ eftersom $\sin^{n} (θ) \neq \sin (n θ)$ .

Dessvärre har jag ingen idé om hur man kan lösa denna uppgift.

Här följer en tämligen bökig uträkning med användande av diverse trig-identiteter. Kolla särskilt upp "summa till produkt"-identiterna om du är osäker på dem; jag har använt två av dem.

$\sum_{k = 1}^{n} \sin k θ = I m \sum_{k = 1}^{n} e^{i k θ} = I m \sum_{k = 1}^{n} (e^{i θ})^{k} = [g e o m e t r i s k s u m m a] = I m \frac{(e^{i θ})^{n + 1} - e^{i θ}}{e^{i θ} - 1} = [f ö r l ä n g m e d n ä m n a r e n s k o n j u g a t] = I m \frac{e^{i n θ} - 1 - e^{i (n + 1) θ} + e^{i θ}}{2 - (e^{i θ} + e^{- i θ})} = \frac{1}{2 - 2 \cos θ} I m (e^{i n θ} - 1 - e^{i (n + 1) θ} + e^{i θ}) = \frac{1}{2} \frac{1}{1 - \cos θ} (\sin n θ - \sin (n + 1) θ + \sin θ) = \frac{1}{4 \sin^{2} \frac{θ}{2}} (- 2 \sin \frac{θ}{2} \cos \frac{(2 n + 1) θ}{2} + 2 \sin \frac{θ}{2} \cos \frac{θ}{2}) = \frac{1}{2 \sin \frac{θ}{2}} (\cos \frac{θ}{2} - \cos \frac{(2 n + 1) θ}{2}) = \frac{\sin \frac{n θ}{2} \sin \frac{(n + 1) θ}{2}}{\sin \frac{θ}{2}}$

Svara

Visa senaste svar