Serie

Hej. Behöver hjälp med följande uppgift

Visa att serien nedan konvergerar för $a \in ℝ$

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{a}{a^{2} + k^{2}}$

samt att

$- \frac{π}{2} \leq \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{a}{a^{2} + k^{2}} \leq \frac{π}{2}$

M.h.a. Cauchys integraltest får jag att serien konvergerar om $a \neq 0$ . Jag vet dock inte hur jag skall visa olikheten. Kan jag skriva om serien som en Riemannsumma?

Du kan ju anta att $a > 0$ sedan är

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{a}{a^{2} + k^{2}} \leq \int_{0}^{\infty} \frac{a}{a^{2} + x^{2}} d x$

eftersom termerna är avtagande.

Ser du då att du även kommer få den undre begränsningen av detta?

Hur vet du att summan är mindre än integralen?

Om du kollar här: https://www.desmos.com/calculator/ktuthwew6s

Så ser du att steg funktionen jag ritade, integralen av den motsvarar serien.

Sedan så är den mjuka kurvan $y = \frac{1}{1 + x^2}$ . Så här ser du att denna integral kommer vara större. Det är såhär Cauchys integraltest bevisas.

När jag vill visa den undre begränsningen, kan jag då multiplicera olikheten med (-1), så att a<0?

Ja det kan du.

Okej. Tack för hjälpen än en gång! :D

Svara

Visa senaste svar