separera variablerna och lös differentialekvationen y'+ay=b

Hej! Jag har fastnat lite här och undrar om jag kan få hjälp?

Denna uppgift är för att få lite djupare förstålse för separabla diff.ekv. jag tänkte så här

y'+ay=b ger y'=b-ay som ger y'*( $\frac{1}{b - a y}$ )=1 som ger $\int \frac{(1}{b - a y}) d y * d x / d x = \int \frac{(1}{b - a y}) d y = \int d y / d x \to (l i m |b - a y| / (- a)) + C_{1} = x + C_{2} \to b - a y = e^{- a (x + c)} d ä r C = C_{2} - C_{1} d å ä r y = (b / a) - e^{- a (x + c)}$

problemet är att vår härliga normala metod ger $y = C e^{- a x} + (b / a)$ (summan av partikulär samt homogenlösning) hur kan dessa två vara lika?

nu ser jag att kanske förklaringen är lite komplicerad men jag hoppas att någon tar sin tid. :))

Tack i förhand!

Du har kommit fram till att

$-\frac{1}{a}\ln|b - ay| = x + C_0$

Detta ger att

$\ln|b - ay| = C_1 - ax$

Där $C_1 = -aC_0$ . Nu får vi

$|b - ay| = e^{C_1}\cdot e^{-ax}$

$|b - ay| = C_2 e^{-ax}$

Där $C_2 = e^{C_1}$ , notera då att $C_2$ är en positivt konstant. Nu kan vi plocka bort absolutbeloppen och säga att

$b - ay = C_3 e^{-ax}$

Där $C_3$ kan vara vilken konstant som helst, positiv som negativ. Löser vi ut y så får vi

$y = Ce^{-ax} + \frac{b}{a}$

Där $C = -C_3/a$ . Man får alltså samma lösningar med båda metoderna.

Stokastisk skrev :
Du har kommit fram till att
$-\frac{1}{a}\ln|b - ay| = x + C_0$
Detta ger att
$\ln|b - ay| = C_1 - ax$
Där $C_1 = -aC_0$ . Nu får vi
$|b - ay| = e^{C_1}\cdot e^{-ax}$
$|b - ay| = C_2 e^{-ax}$
Där $C_2 = e^{C_1}$ , notera då att $C_2$ är en positivt konstant. Nu kan vi plocka bort absolutbeloppen och säga att
$b - ay = C_3 e^{-ax}$
Där $C_3$ kan vara vilken konstant som helst, positiv som negativ. Löser vi ut y så får vi
$y = Ce^{-ax} + \frac{b}{a}$
Där $C = -C_3/a$ . Man får alltså samma lösningar med båda metoderna.

sjukt bra förklaring, jag hade så mycket huvud värk efter all plugg, när jag såg att facit inte stämde överens med det jag kom fram till så kunde jag inte tänka på något annat än att bränna upp boken hahah, så tack för hjälpen!

Svara