Separabla diffekvationer - Tappa vätska ur klotformig tank

Hallå!

Har fastnat på en uppgift om separabla diffekvationer och kommer ingenvart. Här är uppgiften:

En klotformig tank är fylld med vätska, vätskan rinner ut genom botten. Efter en timme är tanken fylld till hälften. Hur lång tid tar det innan den är helt tom? Utströmningshastigheten följer Torricellis Lag, dvs den är proportionell mot kvadratroten av höjden av vätskeytan över utströmningshålet.

Har börjat med att teckna uttrycket $V' (t) = - k \sqrt{h (t)}$ . V(t) är tankens volym och då blir V'(t) utströmningshastigheten, h(t) är höjden av vätskeytan.

Startvillkoren $V (0) = V_{0}$ och $V (1) = \frac{V_{0}}{2}$ gäller men mer än så vet jag inte hur jag ska tackla problemet.

Spontant tänker jag att du bör hitta ett samband mellan h och V, d.v.s h(V). Eliminera h, separera V och t, och integrera.

Om R är radien på klotet och V är volymen så gäller det att

$V (t) = π \int_{- R}^{h (t) - R} (R^{2} - x^{2}) d x$

Detta ger att

$V' (t) = π (R^{2} - (h (t) - R)^{2}) h' (t) = π (2 Rh - h^{2}) h'$

Eftersom vi nu vet att det även gäller att $V'(t) = C\sqrt{h}$ så får man

$\frac{2 R h - h^{2}}{\sqrt{h}} h' = C$

(Obs jag bakar in pi i konstanten). Integrerar man nu får man

$\frac{4 R h^{3 / 2}}{3} - \frac{2 h^{5 / 2}}{5} = C t + D$

För att slippa massor med jobbiga konstanter så multiplicerar jag båda leden med $15/2$ och bakar in denna konstant i C och D och då får

$10 R h^{3 / 2} - 3 h^{5 / 2} = C t + D$

Vi vet att då t = 0 så är $h = 2R$ vilket ger att

$D = 10 R \cdot (2 R)^{3 / 2} - 3 \cdot (2 R)^{5 / 2} = 2^{7 / 2} R^{5 / 2}$

Sedan vet vi att då t = 1 så är $h = R$ vilket ger att

$C + D = 10 R^{5 / 2} - 3 R^{5 / 2} = 7 R^{5 / 2} \Rightarrow C = (7 - 2^{7 / 2}) R^{5 / 2}$

Nu söker vi t då $h = 0$ vilket ger ekvationen $Ct + D = 0$ och har lösningen $t = -D/C$ , alltså då

$t = \frac{2^{7 / 2}}{2^{7 / 2} - 7} \approx 2.62$

Detta innebär att efter ungefär 2 timmar och 37 minuter så är tanken tom.

Stokastisk skrev :
Om R är radien på klotet och V är volymen så gäller det att
$V (t) = π \int_{- R}^{h (t) - R} (R^{2} - x^{2}) d x$
Detta ger att
$V' (t) = π (R^{2} - (h (t) - R)^{2}) h' (t) = π (2 Rh - h^{2}) h'$
Eftersom vi nu vet att det även gäller att $V'(t) = C\sqrt{h}$ så får man
$\frac{2 R h - h^{2}}{\sqrt{h}} h' = C$
(Obs jag bakar in pi i konstanten). Integrerar man nu får man
$\frac{4 R h^{3 / 2}}{3} - \frac{2 h^{5 / 2}}{5} = C t + D$
För att slippa massor med jobbiga konstanter så multiplicerar jag båda leden med $15/2$ och bakar in denna konstant i C och D och då får
$10 R h^{3 / 2} - 3 h^{5 / 2} = C t + D$
Vi vet att då t = 0 så är $h = 2R$ vilket ger att
$D = 10 R \cdot (2 R)^{3 / 2} - 3 \cdot (2 R)^{5 / 2} = 2^{7 / 2} R^{5 / 2}$
Sedan vet vi att då t = 1 så är $h = R$ vilket ger att
$C + D = 10 R^{5 / 2} - 3 R^{5 / 2} = 7 R^{5 / 2} \Rightarrow C = (7 - 2^{7 / 2}) R^{5 / 2}$
Nu söker vi t då $h = 0$ vilket ger ekvationen $Ct + D = 0$ och har lösningen $t = -D/C$ , alltså då
$t = \frac{2^{7 / 2}}{2^{7 / 2} - 7} \approx 2.62$
Detta innebär att efter ungefär 2 timmar och 37 minuter så är tanken tom.

Vad jag har svårt att förstå är hur du får fram gränserna till V(t) i

$V (t) = π \int_{- R}^{h (t) - R} (R^{2} - x^{2}) dx$ samt beteckningen på radien till $R^{2} - x^{2}$ . Har $R^{2} - x^{2}$ en koppling till cirkelns ekvation om man tänker den som "en smal skiva" av vätskan? Har försökt rita upp det men tror inte jag tänker rätt.

I övrigt förstår jag fortsättningen. Tackar så mycket för hjälpen, det uppskattas verkligen. Ha en fortsatt god jul!

Testa att plotta kurvan $\sqrt{R^2 - x^2}$ , då ser du att detta är en halvcirkel, för att komma fram till det så använder man pytagoras sats. Så om man skapar rotationsvolymen av detta mellan x = -R och x = -R + h(t) så får man ett klot med "hatten avhuggen". Så sättet vi beräknar volymen på denna kropp på är genom den integral jag skrev.

Stokastisk skrev :
Testa att plotta kurvan $\sqrt{R^2 - x^2}$ , då ser du att detta är en halvcirkel, för att komma fram till det så använder man pytagoras sats. Så om man skapar rotationsvolymen av detta mellan x = -R och x = -R + h(t) så får man ett klot med "hatten avhuggen". Så sättet vi beräknar volymen på denna kropp på är genom den integral jag skrev.

Förstår fortfarande inte hur du kommer fram till kurvan y = $\sqrt{R^{2} - x^{2}}$ . Har du möjlighet att rita upp det? (kanske lite mycket begärt och det gör inget om du inte har tid/vilja).

Jag valde R = 5. Här är grafen.

Aa nu förstår jag grafen iaf, tack! Så till integralens gränser igen. Tittar jag på grafen ska man rotera kurvan runt x-axeln mellan -R och R. Hur blir det h(t)-R istället?

Eftersom man bara vill ha volymen upp till höjden h(t) så integrerar man bara upp till h(t) - R. Om man integrerar mellan -R till R så får man ju volymen på hela klotet vilket inte är vad man vill ha.

Svara

Visa senaste svar