Separabla diff ekvationer 2

Ännu en separabel som jag blir tveksam över.

Lös $y' = e^{x + y}$

Lösning.

Separering av variabler ger att

$e^{- y} d y = e^{x} d x$

Som efter integrering map på respektive variabel ger att

$- e^{- y} = e^{x} + C, C \in R e^{- y} = - e^{x} - C - y = \ln |- e^{x} - C| = \ln |e^{x} + C| y = - \ln |e^{x} + C|$

Men facit säger lite annorlunda, $y = - \ln (C - e^{x})$

Varför har du absoluttecken?

Konstanten C Kan man ändra tecken på. Näst sista raden tror jag att ditt fel kommer till.

Hej!

Det stämmer att ekvationen resulterar i sambandet $e^{-y}=A-e^{x}$ där $A$ är en godtycklig konstant (den är $-C$ med din beteckning). Notera att $e^{-y}$ är alltid ett positivt tal vilket betyder att konstanten $A$ bestämmer definitionsmängden till funktionen $y(x)$ ;

$A-e^{x} > 0 \iff \ln A > x \iff D_y = (-\infty,\ln A)$ .

För att detta ska vara medningsfullt måste konstanten $A$ vara positiv också.

För att få ett explicit uttryck för funktionen $y(x)$ logaritmeras det tidigare erhållna sambandet.

$-y(x) = \ln(A-e^{x}) \iff y(x) = -\ln(A-e^{x})\ , \quad x \in (-\infty,\ln A).$

Svara

Visa senaste svar