Separabla DE

Hejsan.

Har försökt mig på den här i ett par timmar nu utan att riktigt lyckas. Skulle någon kunna vara så vänlig och visa hur man löser den? All hjälp uppskattas!

y'=(y²-1)x ; y(0)=-1

Svaret ska bli y=-1 och jag har lyckats få fram att y=(Ce^{x^2}+1)/(1-Ce^{x^2}) men när jag stoppar in värdet på y(0)=-1 kan jag inte lösa ut C.

$\dfrac{dy}{g(y)}=f(x)dx$

$\displaystyle \int \dfrac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx$

Klarar du resten?

Har du kollat om din allmänna lösning funkar? Om inte, kan den vara boven som hindrar dig att få fram C.

Fast, har du verkligen skrivit av uppgiften helt rätt?

Det är inte så att det skall vara $y(-1)=0$ ?

Biforgar en bild på boken på uppgiften.

Vad säger facit?

y=-1

Redan när man separerar diffekv så får man 0 i nämnaren om y = -1 för något x-värde. Inte trevligt.

$y(x)=\dfrac{1-e^{x^2+c_2}}{1+e^{x^2+c_2}}$

Men problemet är att $y(0)=-1$ aldrig inträffar.

Notera att funktionen y(x) = +-1 (konstanter) är partikulärlösningar.

Något säger mig att ovanst konstanta fkner är de enda möjliga.

Man kan förstås se partikulärlösningarna direkt (det gjorde inte jag), men man kan också hitta dem genom att låta C gå mot oändligheten (det gjorde jag inte heller).

Det senare styrker min misstanke att de konstanta fknerna +-1 är de enda som uppfyller kraven. Ekv är ju separabel utom just i origo.

Svara

Visa senaste svar