Separabel ODE med begynnelsevillkor

Tjenare 

Ifall man använder substitution kan vi nog få något finnare, jag provade först med z=x+y men z=x+y-2 verkar mycket lättare

$\frac{dz}{dx}=1+\frac{dy}{dx}\leftrightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx}-1$ så hela grejen blir $\frac{dz}{dx}-1=z^2$ vilket vi kan få till $\int \frac{1}{1+z^2}dz=\int 1dx$ den vänstra integralen är standard $\frac{d}{dx}\left[arc\tan \left(x\right)\right]=\frac{1}{1+x^2}$ så $arc\tan \left(z\right)=x+c$ vilket blir $z=\tan (x+c)\leftrightarrow x+y-2=\tan (x+c)\leftrightarrow y=\tan (x+c)-x+2$ sen är begynelse vilkoret y(0)=0 så $y\left(0\right)=\tan \left(c\right)+0+2=\tan \left(c\right)+2=0$ så c är ungefär -1,1 radianer så

y(x)=tan(x-1,1)-x+2

Kallaskull skrev:

Tjenare 

Ifall man använder substitution kan vi nog få något finnare, jag provade först med z=x+y men z=x+y-2 verkar mycket lättare

$\frac{dz}{dx}=1+\frac{dy}{dx}\leftrightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx}-1$ så hela grejen blir $\frac{dz}{dx}-1=z^2$ vilket vi kan få till $\int \frac{1}{1+z^2}dz=\int 1dx$ den vänstra integralen är standard $\frac{d}{dx}\left[arc\tan \left(x\right)\right]=\frac{1}{1+x^2}$ så $arc\tan \left(z\right)=x+c$ vilket blir $z=\tan (x+c)\leftrightarrow x+y-2=\tan (x+c)\leftrightarrow y=\tan (x+c)-x+2$ sen är begynelse vilkoret y(0)=0 så $y\left(0\right)=\tan \left(c\right)+0+2=\tan \left(c\right)+2=0$ så c är ungefär -1,1 radianer så

y(x)=tan(x-1,1)-x+2

Eller om man räknar exakt så får man:

$y(x)=\tan(x-\arctan(2))+2.$