Separabel ODE

Hej! Jag har försökt lösa följande uppgift:

$y' = (y^{2} - 1) x, y (0) = 0$

Jag får ett svar som jag förstår inte kan stämma men vet ändå inte vad som går fel. Jag har tänkt att man ska göra så här:

$y' \cdot \frac{1}{y^{2} - 1} = x g (y) = \frac{1}{y^{2} - 1} f (x) = x y 0 = 0, x 0 = 0 G (y) = \int_{y 0}^{y} g (t) d t = \frac{1}{2} \cdot \ln \frac{|y - 1|}{|y + 1|} F (x) = \int_{x 0}^{x} f (t) d t = \frac{x^{2}}{2} G (y) = F (x) \Rightarrow \frac{y - 1}{y + 1} = x^{2} \Rightarrow y = \frac{1 + e^{x^{2}}}{1 - e^{x^{2}}}$

Detta blir inte definierat för begynnelsevillkoret och svaret i facit är väldigt likt förutom att nämnaren är täljaren och tvärtom.

Hur integrerar du g? Och vad händer med beloppet sen?

Hej,

Ekvationen $G(y(x))=F(x)$ är

$\displaystyle\ln \left|\frac{y(x)-1}{y(x)+1}\right| = x^2 \iff \left|\frac{y(x)-1}{y(x)+1}\right| = e^{x^2}.$

Två möjligheter:

Antingen gäller $\frac{y(x)-1}{y(x)+1} = e^{x^2}$ eller
så gäller $\frac{y(x)-1}{y(x)+1} = -e^{x^2}$

Första fallet uppfyller inte villkoret $y(0)=0$ vilket det andra fallet gör varför

$\displaystyle y\left(x\right) = \frac{1-e^{x^2}}{1+e^{x^2}}.$

Albiki skrev:
Hej,

Ekvationen $G(y(x))=F(x)$ är

$\displaystyle\ln \left|\frac{y(x)-1}{y(x)+1}\right| = x^2 \iff \left|\frac{y(x)-1}{y(x)+1}\right| = e^{x^2}.$

Två möjligheter:

Antingen gäller $\frac{y(x)-1}{y(x)+1} = e^{x^2}$ eller

så gäller $\frac{y(x)-1}{y(x)+1} = -e^{x^2}$

Första fallet uppfyller inte villkoret $y(0)=0$ vilket det andra fallet gör varför

$\displaystyle y\left(x\right) = \frac{1-e^{x^2}}{1+e^{x^2}}.$

Hur får ni fram y(x)? från uttrycket $\frac{y - 1}{y + 1} = \pm e^{x^{2} + C}$

ln $|\frac{y (x) - 1}{y (x) + 1}|$ = x² + c $\Rightarrow$

$|\frac{y (x) - 1}{y (x) + 1}|$ = $e^{c}$ $\cdot$ $e^{x^{2}}$ $\Rightarrow$

$\frac{y (x) - 1}{y (x) + 1}$ = $\pm$ $e^{c}$ $\cdot$ $e^{x^{2}}$ = k $e^{x^{2}}$

$\frac{y (0) - 1}{y (0) + 1}$ = k $e^{0}$ $\Rightarrow$ $k$ = -1.

Notera att om b > 0 så gäller det att $|a|$ = b $\Leftrightarrow$ ( $a = b$ eller $a = - b$ ).

Hur får ni uttrycket från $\frac{y - 1}{y + 1} = \pm e^{x^{2} + C}$ till $y (x) = \frac{1 - e^{x^{2}}}{1 + e^{x^{2}}}$

Se det som en ekvation där y är en obekant: $\frac{y - 1}{y + 1}$ = h (där h råkar vara - $e^{x^{2}}$ ).

Lös ekvationen för y och du får $y = \frac{1 + h}{1 - h}$ .

Svara

Visa senaste svar